Die Grundlagen der Mathematik sind schnell genannt. Dazu gehören

• die Logik,
• die Mengenlehre und
• das Zahlensystem

Alle drei beschäftigen sich mit Objekten (nämlich Aussagen, Mengen bzw. Zahlen) und ein- oder zweistelligen Operationen ({¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ ∀ ∃}, {^c ∩ ∪ \ Δ ⊂ ∈ ×} bzw. {– + · / ^}) auf ihnen. Das Wissen in diesen Bereichen ist zwar für das Verständnis weiter Teile der Mathematik nicht grundsätzlich erforderlich, aber auf jeden Fall sehr hilfreich. Im Übrigen lernt man diese Grundlagen auch im Nachhinein, peu à peu.

Die Analysis ist das Teilgebiet der Mathematik, das sich zunächst der Untersuchung reeller Funktionen widmet. Das Wort Analysis (αναΛμσις) kommt aus dem Griechischen und heißt so viel wie Auflösung. Gemeint ist hier das Auflösen des groben Zusammenhanges zwischen zwei Größen und das Hineintauchen in die Details, genauer das Hineinzoomen auf bestimmte Stellen des Definitionsbereichs und das Betrachten der zugehörigen Funktionswerte.

Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit einer Funktion sind zentrale Fragen der Analysis. Die ersten beiden sind zunächst nur lokale Eigenschaften einer Funktion, also Eigenschaften an bestimmten Stellen. Mit diesen lokalen Eigenschaften werden später globale Eigenschaften definiert. Die Integrierbarkeit ist schon von vornherein eine mehr globale Eigenschaft, denn sie macht keine Aussage über einzelne Stellen, sondern über zusammenhängende Bereiche, über Intervalle.

Zur Historie: 
Väter dieser zentralen Begriffe und damit der Analysis waren Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz, die Anfang des 18. Jh. unabhängig voneinander die so genannte Infinitesimalrechnung erfanden, kurz gesagt ein Rechnen mit infinitesimalen (=unendlich kleinen) Zahlen. Auch wenn dieses Rechnen von der Anschauung her einleuchtend war, es ließ die in allen anderen Bereichen der Mathematik sonst übliche Strenge bei Begriffsdefinitionen vermissen.

Erst Mitte des 19. Jahrhunderts erhielt die Infinitesimalrechnung eine mathematisch strenge formale Form. Die Mathematiker Augustin-Louis Cauchy, Karl Weierstraß, Richard Dedekind führten Grenzwertbetrachtungen ein, die die Nutzung infinitesimaler Zahlen überflüssig machten. Der Grenzwertbegriff stellte damit die Analysis auf ein solides Fundament, auf das sie 150 Jahre warten musste.

Die lineare Algebra ist das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen diesen beschäftigt. So eine Definition ist für den Anfänger natürlich völlig unbrauchbar, da das Verständnis der dort verwendeten Begriffe (Vektorraum, lineare Abbildung) nicht vorausgesetzt werden kann. Zum Glück können wir die Definition hier sehr leicht konkretisieren, ohne von der ursprünglichen Weite des Begriffes "lineare Algebra" zu weit abzurücken. Die lineare Algebra entstand nämlich aus zwei sehr konkreten Anforderungen heraus:

• einerseits dem Lösen von linearen Gleichungssystemen,
• andererseits der rechnerischen Beschreibung geometrischer Objekte (→ analytische Geometrie).

Wenn man sich nun daran erinnert, dass das Skalarprodukt von Vektoren aus der analytischen Geometrie bei der Matrizenmultiplikation seine Anwendung findet, dann wird die folgende Definition um so klarer.

Die lineare Algebra ist das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit linearen Gleichungssystemen und Matrizen beschäftigt.

Die linearen Algebra ist ein relativ einfach zu durchdringendes Gebiet, das in den letzten Jahren eine große Bedeutung in Wirtschaft, Wissenschaft und Technik erlangt hat. Für das renommierte Computersystem MATLAB ist die Rechenbasis nicht eine Zahl, sondern eine Matrix, also das rechteckige Gebilde, das das Lösen von linearen Gleichungssystemen besonders einfach macht. Um das besser zu verstehen, muss man sich nur vergegenwärtigen, dass die Grundrechenarten im Wesentlichen auch für Matrizen existieren. Nicht alles was man mit Zahlen machen kann, kann man auch mit Matrizen machen, aber immerhin sehr viel davon.

Noch abstrakter wird es, wenn man den Oberbegriff Algebra zu definieren versucht. Algebra beschreibt das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Objekten (nicht nur Zahlen und Matrizen, sondern auch beliebigen Funktionsklassen) und den Verknüpfungen (z. B. den Grundrechenarten und der Verkettung) zwischen ihnen beschäftigt. Die Schulmathematik formuliert den Begriff, weniger abstrakt und so wie er historisch gewachsen ist, als das "Rechnen mit Unbekannten". Al-Chwarizmi, ein arabischer Gelehrte des 9. Jh., der in der damaligen Hochburg der Wissenschaften Bagdad wirkte, war mit seinem Buch "über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen" (al‑ğabr w al-muqābalah) Namensgeber dieser mathematischen Disziplin. Im Kern geht es in diesem Buch um das Lösen von einfachen "quadratischen Gleichungen", dem folgende zwei Schritte zugrunde liegen:

• al-ğabr („Ergänzen“) – Beseitigung der negativen Ausdrücke
• al-muqābalah („Ausgleichen“) – Zusammenfassung der Ausdrücke gleicher Potenz

Daraus folgt zumindest andeutungsweise, dass die Algebra sich auch mit nicht-linearen Gleichungssystemen beschäftigt.

Unter Geometrie versteht man einerseits die euklidische Geometrie der Fläche und des Raumes, die Elementargeometrie, die heute in der Schule gelehrt wird und seit Euklid im Wesentlichen unverändert geblieben ist. Anderseits gehören zur Geometrie auch Teilgebiete der Mathematik, deren Bezug zur Elementargeometrie nur schwer nachvollziehbar ist. Dazu zählen u.a.:

• Differentialgeometrie, die zusätzlich Methoden der Analysis und Topologie verwendet
• Diskrete Geometrie, die sich u.a. mit Polygonen, Polyedern, Matroiden, Parkettierungen und Packungen der Ebene und des Raumes beschäftigt.

Der Name Stochastik kommt aus dem Griechischen. Als στοχαστικóς (sprich: stochastikos) wurde jemand bezeichnet, der im Vermuten ge­schickt ist. Dieses Teilgebiet der Mathematik befasst sich mit Zufalls­erscheinungen. Es umfasst die Wahrscheinlichkeits­rechnung (kurz: W‑Theorie) und die Mathematische Statistik (kurz: Statistik), einschließlich ihrer jeweiligen Anwendungsgebiete. Den Unterschied zwischen diesen beiden Teilgebieten der Stochastik kann man folgendermaßen beschreiben:

Bei der W‑Theorie gehen wir von gegebenen W‑Maßen aus, untersuchen ihre Eigenschaften oder konstruieren aus ihnen neue W‑Maße. Ein Hauptziel ist es Hilfsmittel für die Statistik bereitzustellen.
Bei der Statistik gehen wir dagegen von gegebenen Beobachtungen aus und versuchen daraus Aussagen über die dahinter sich eventuell verbergenden W‑Maße zu machen.

Die Stochastik unterscheidet sich in so mancher Hinsicht von anderen Zweigen der Mathematik. Viele ihrer Definitionen, Konzepte und Resultate sind ohne ihren Bezug auf Probleme des "täglichen Lebens" oder der Naturwissenschaften nur schwer zu verstehen. Andererseits macht sie auch viel Gebrauch von den anderen mathematischen Disziplinen, insbesondere von der Kombinatorik, der mehrdimensionalen Analysis, der Maßtheorie und der Linearen Algebra.

 Die Stochastik ist einerseits stark anwendungsbezogen, anderseits stark mathematiklastig.