Analysis

Die Analysis ist das Teilgebiet der Mathematik, das sich zunächst der Untersuchung reeller Funktionen widmet. Das Wort Analysis (αναΛμσις) kommt aus dem Griechischen und heißt so viel wie Auflösung. Gemeint ist hier das Auflösen des groben Zusammenhanges zwischen zwei Größen und das Hineintauchen in die Details, genauer das Hineinzoomen auf bestimmte Stellen des Definitionsbereichs und das Betrachten der zugehörigen Funktionswerte.

Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit einer Funktion sind zentrale Fragen der Analysis. Die ersten beiden sind zunächst nur lokale Eigenschaften einer Funktion, also Eigenschaften an bestimmten Stellen. Mit diesen lokalen Eigenschaften werden später globale Eigenschaften definiert. Die Integrierbarkeit ist schon von vornherein eine mehr globale Eigenschaft, denn sie macht keine Aussage über einzelne Stellen, sondern über zusammenhängende Bereiche, über Intervalle.

Zur Historie: 
Väter dieser zentralen Begriffe und damit der Analysis waren Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz, die Anfang des 18. Jh. unabhängig voneinander die so genannte Infinitesimalrechnung erfanden, kurz gesagt ein Rechnen mit infinitesimalen (=unendlich kleinen) Zahlen. Auch wenn dieses Rechnen von der Anschauung her einleuchtend war, es ließ die in allen anderen Bereichen der Mathematik sonst übliche Strenge bei Begriffsdefinitionen vermissen.

Erst Mitte des 19. Jahrhunderts erhielt die Infinitesimalrechnung eine mathematisch strenge formale Form. Die Mathematiker Augustin-Louis Cauchy, Karl Weierstraß, Richard Dedekind führten Grenzwertbetrachtungen ein, die die Nutzung infinitesimaler Zahlen überflüssig machten. Der Grenzwertbegriff stellte damit die Analysis auf ein solides Fundament, auf das sie 150 Jahre warten musste.

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Unterkategorien

Einfache Funktionen

Schon in der Mittelstufe untersuchen wir, ohne jemals etwas von Differential- und Integralrechnung gehört zu haben, bestimmte Arten von elementaren Funktionen. Dazu gehören

  • konstante Funktionen
  • lineare Funktionen
  • quadratische Funktionen
  • Wurzelfunktionen
  • trigonometrische Funktionen

Der Graph aller dieser Funktionen hat etwas "Einfaches" an sich. Folgende Untersuchungen können wir anstellen:

  • Art der Symmetrie
  • Art der Monotonie
  • Verhalten im Unendlichen
  • Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  • Maximal- und Minimalwerte auf endlichen Intervallen
  • Wertemenge

Insbesondere ermöglichen uns die Ergebnisse dieser Untersuchungen ein sehr präzises Skizzieren des Graphen.

Folgen und Grenzwerte

Die Differential- und Integralrechnung hieß in ihren Anfängen nicht ohne Grund Infinitesimalrechnung, denn in diesen mathematischen Disziplinen führte man Begriffe und Verfahren ein, die sich mit unendlich kleinen Größen befassten. Die Bestimmung von Steigungen, Längen, Flächen und Volumina von kurvig umrandeten geometrischen Figuren ist anders nicht möglich.

Diese unendlich kleinen Größen waren lange Zeit ein Dorn im Auge der Mathematiker, denn ihre Definition ließ die sonst übliche Strenge in der Mathematik vermissen. Erst mit der Einführung des Grenzwertbegriffes Mitte des 19. Jahrhunderts wurde aus der Infinitesimalrechnung eine "exakte" Disziplin.

Die Tatsache, dass Differential- und Integralrechnung auf dem Grenzwertbegriff beruhen, ist ein ausreichender Grund sich mit diesem Objekt zu befassen. Nicht nur die Begriffe, die im Zusammenhang mit der Differential- und Integralrechnung eingeführt werden, sondern vor allem die in ihnen steckenden Ideen, werden einem nur bruchstückhaft klar, wenn man sich diese Grundlage nicht erarbeitet hat.

Elementare Funktionen

Eine allgemeine Definition einer elementaren Funktion gibt es nicht. Der Begriff wird in mehreren Versionen verwendet. Was allen gemeinsam ist, ist die Tatsache, dass damit grundlegende Funktionen gemeint sind, aus denen sich viele andere Funktionen mittels der Grundrechenarten, Verkettung, Differentiation oder Integration bilden lassen. Als ein vielleicht geglückter Versuch gilt die folgende Definition: 

Eine elementare Funktion ist eine Funktion, die sich in endlich vielen Schritten allein mit Hilfe 

  • der vier Grundrechenarten
  • des Potenzieren und des Radizierens (mit ganzzahligen Exponenten bzw. Wurzelexponenten)
  • der Exponentiation und der Logarithmierung und
  • der Verkettung

aus einer rationalen Funktionen (es genügt hier die Identität) bilden lässt.

Integralrechnung

Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der Analysis. Sie ist aus dem Bedürfnis heraus entstanden auch für kurvenförmig berandete Objekte eine Flächen- bzw. Volumenbestimmung zu ermöglichen. Das Integral ist ein Oberbegriff für das unbestimmte und das bestimmte Integral. Seine Berechnung nennen wir Integration.

Zunächst eine kurze Erläuterung zur Schreibweise des Integrals von f(x), also zum Ausdruck ∫f(x) dx :
Das Integralzeichen ∫ ist aus einem langgestreckten s entstanden als Abkürzung für das Wort "Summe". Die daraufhin folgende multiplikativ zu lesende Notation f(x) dx deutet an, dass die Streifen der Höhe f(x) und der infinitesimalen Breite dx zur Fläche unter der Funktion summiert werden sollen. 

Maßtheorie

Geometrisch einfachen Teilmengen der Zahlengeraden, der Ebene und des Anschauungsraumes ordnet man in der Elementargeometrie "Maßzahlen" zu, die wir Länge, Flächen- und Rauminhalt nennen. Von der Anschauung her ist dabei zunächst nur klar, wie man die Länge einer Strecke, den Flächeninhalt eines Rechtecks und den Rauminhalt (Volumen) eines Quaders zu definieren hat. Darauf aufbauend kann man mit elementar-geometrischen Methoden Länge, Flächeninhalt und Volumen komplizierterer Mengen bestimmen, indem man gewisse Rechenregeln für den Umgang mit solchen Maßzahlen akzeptiert.

Denkt man etwa an die Bestimmung der Fläche eines offenen Dreiecks, so zerlegt man dieses durch eine Höhenstrecke in zwei rechtwinklige, offene Dreiecke und in die Höhenstrecke. Ein rechtwinkliges Dreieck anderseits entsteht durch diagonales Halbieren eines entsprechenden Rechtecks. Folgende zwei Regeln führen dann zur Flächenbestimmung eines Dreiecks:

  • kongruente Mengen haben die gleiche Maßzahl (Bewegungsinvarianz)
  • die Maßzahl einer Vereinigung zweier disjunkte Mengen ist die Summe der Einzelmaßzahlen (Additivität)

Die Grenzen dieser Vorgehensweise sind aber sehr schnell erreicht. Was ist der Flächeninhalt eines Kreises im R² oder gar der Rauminhalt einer Kreislinie im R³?
Die Frage nach einer allgemeinen Methode, mit deren Hilfe "möglichst viele" Teilmengen des ℝn ein n‑dimensionales Volumen als Maßzahl zugeordnet werden kann, hat zur Entwicklung der Maßtheorie geführt. Der Schlüssel zu der Antwort auf diese Frage, der auch noch wesentlich andere Maßzahlen als nur das n-dimensionale Volumen liefert, ist die Verschärfung der zweiten Forderung:

die Maßzahl einer abzählbaren Vereinigung von paarweise disjunkten Mengen ist die Summe der einzelnen Maßzahlen (σ‑Additivität)

Reihenentwicklung

Unter einer Reihenentwicklung versteht man in der Mathematik die Technik eine Funktion als unendliche Summe (Reihe) von Potenzen ihrer Variablen oder von Potenzen anderer elementarer Funktionen darzustellen. Diese Darstellungsform wird meist verwendet, falls die Funktion selbst nicht aus elementaren Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) aufgebaut ist. Reduziert man die unendliche Summe auf endlich viele Summanden, so bekommt man eine Näherung der Funktion. Diese Näherung ist umso einfacher, je weniger Glieder genommen werden und umso besser, je mehr Glieder mit von der Partie sind. Häufig lässt sich die dabei entstandene Ungenauigkeit, also das so genannte Restglied formelhaft beschreiben. 

Folgende Reihenentwicklung haben sich als sehr nützlich erwiesen:

  • Taylorreihen ( \(x^n, \; n\in \Bbb{N}\) )
  • Laurentreihen ( \(x^n,\; n\in \Bbb{Z}\) )
  • Fourierreihen  ( \((\cos(x)+i \sin(x))^n,\; n\in \Bbb{N}\) → Moivresche Formel )
  • Bernsteinreihen (→ Bernsteinpolynome)

Bemerkung:

Bei der Reihenentwicklung geht es im Kern um die Approximation einer Funktion zum Zwecke einer besseren Handhabung für bestimmte Aufgaben.