Das Grundproblem der Differentialrechnung ist die Bestimmung der "Steigung" einer Funktion f an einer Stelle a. Gemeint ist hier die Steigung einer an den Graphen von f angepassten  Geraden (der Tangente) in dem Punkt (a, f(a)). Ist so eine Anpassung möglich, dann können wir die Funktion in der "Nähe" der Stelle a durch eine Gerade annähern (approximieren), m.a.W. die Untersuchung der Funktion auf eine Untersuchung einer Geraden reduzieren.


Der Begriff der Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt wird zunächst nur für reellwertige Funktionen auf D ⊂ ℝ eingeführt, also für f: D ⊂ ℝ → ℝ . Er basiert auf den Steigungen von Sekanten (→ Differenzenquotient) und dem Begriff des Grenzwertes einer Funktion an einer Stelle.

Mit Hilfe von so genannten Ableitungsregeln können wir uns den Aufwand der analytischen (d.h. auf der Definition fußenden) Vorgehensweise zur Bestimmung der Ableitung sparen. Dabei folgern wir aus der Kenntnis der Differenzierbarkeit einer oder mehrerer anderer Funktionen an einer Stelle a die Differenzierbarkeit einer uns gegebenen Funktion an dieser Stelle oder einer anderen Stelle. Die Ableitungsregeln lauten:

  1. Potenzregel
  2. Faktorregel
  3. Summen- und Differenzregel
  4. Produkt- und Quotientenregel (Beweis)
  5. Kettenregel
  6. Ableitungsregel für die Umkehrfunktion

Mit diesen Regeln können wir die Ableitung vieler Funktionen an einer Stelle direkt angeben.

Darüber hinaus gibt es noch Regeln, die mir zwar nicht die Berechnung der Ableitung liefern, aber immerhin die Information, ob die vorliegende Funktion an einer Stelle überhaupt differenzierbar ist. Dies zu wissen ist für die Anwendbarkeit anderer Sätze entscheidend. Dazu zählen:

  • Jede Funktion, die lokal durch eine Potenzreihe (→ Taylorreihe) dargestellt werden kann, ist differenzierbar.
  • Jede in einem Punkt nicht stetige Funktion (erkennt man schon am Graphen) ist dort auch nicht differenzierbar.

Wenn eine Funktion f an einer Stelle a differenzierbar ist, schreibt man für die Ableitung f'(a). 
Eine Funktion heißt differenzierbar (ohne Einschränkung auf einen speziellen Punkt), wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist. Die Funktion f': x ↦ f'(x) heißt Ableitungsfunktion von f oder kurz: Ableitung von f.