Viele reelle Funktionen, nicht nur ganzrationale, können mit einfachen Mitteln auf folgende Eigenschaften hin untersucht werden:

  1. Definitionsbereich D ⊂ ℝ 
  2. Symmetrie
  3. Verhalten im Unendlichen
  4. Nullstellen
  5. (lokale) Extremstellen (Minimal- und Maximalstellen)
  6. Wendestellen (Links-Rechts-Kurve, Rechts-Links-Kurve)
  7. Wertemenge (Polstellen, Unstetigkeitsstellen anderer Art)

Letztlich gehört zu einer vollständigen Kurvendiskussion auch eine Skizze des Funktionsgraphen.


Für "genügend oft" in einer Umgebung von x0 differenzierbare Funktionen gibt es u.a. die folgenden hin­reichen­den Bedingungen für die Existenz von Extrem- und Wendestellen:

  1. f'(x0)=0  ∧  f''(x)≠0  ⇒  f hat an der Stelle x0 eine Extremstelle
    • f'(x0)=0  ∧  f''(x)>0  ⇒  f hat an der Stelle x0 eine Minimalstelle
    • f'(x0)=0  ∧  f''(x)<0  ⇒  f hat an der Stelle x0 eine Maximalstelle
  2. f''(x0)=0  ∧  f'''(x)≠0  ⇒  f hat an der Stelle x0 eine Wendestelle
    • f''(x0)=0  ∧  f'''(x)>0  ⇒  f hat an der Stelle x0 einen Wechsel von einer Rechtskurve in eine Linkskurve
    • f''(x0)=0  ∧  f'''(x)<0  ⇒  f hat an der Stelle x0 einen Wechsel von einer Linkskurve in eine Rechtsskurve
  3. Kriterium mittels der ersten von Null verschiedenen Ableitung, n gerade
    ∀0<k<n: f(k)(x0)=0  ∧  f(n)(x)≠0  ⇒  f hat an der Stelle x0 eine Extremstelle
    • ∀0<k<n: f(k)(x0)=0  ∧  f(n)(x)>0  ⇒  f hat an der Stelle x0 eine Minimalstelle
    • ∀0<k<n: f(k)(x0)=0  ∧  f(n)(x)<0  ⇒  f hat an der Stelle x0 eine Maximalstelle
  4. Kriterium mittels der ersten von Null verschiedenen Ableitung, n ungerade
    ∀1<k<n: f(k)(x0)=0  ∧  f(n)(x)≠0  ⇒  f hat an der Stelle x0 eine Wendestelle
    • ∀1<k<n: f(k)(x0)=0  ∧  f(n)(x)>0  ⇒  f hat an der Stelle x0 einen Wechsel von einer Rechtskurve in eine Linkskurve
    • ∀1<k<n: f(k)(x0)=0  ∧  f(n)(x)<0  ⇒  f hat an der Stelle x0 einen Wechsel von einer Linkskurve in eine Rechtsskurve

 

 

Im Kontext einer Implikation A ⇒ B,
also bei einem "wenn-dann"-Ausdruck, heißt
B eine notwendige Bedingung für A und
A eine hinreichende Bedingung für B