Differentialrechnung

Um eine Nullstelle einer differenzierbaren Funktion zu ermitteln, ersetzt man die Kurve in der Nähe der Nullstelle durch ihre Tangente. Deren Schnittpunkt mit der x-Achse liegt in der Regel bereits näher an der gesuchten Nullstelle, und indem man dort wieder die Tangente nimmt, erzielt man immer bessere Näherungswerte. Es geht also um die Iteration mittels der folgenden rekursiv definierten Folge:   

Newton-Iteration:  xn+1:= xn − f(xn)⁄ f'(xn) ∀n∈ℕ 

Mit Hilfe des so genannten Newton-Operators Nf(xn):= xn − f(xn)⁄ f'(xn) lässt sich die rekursiv erzeugte Folge auch so darstellen: xn+1:= Nf(xn) ∀n∈ℕ

Damit dieser Newton-Operator (also die von ihm erzeugte Folge) tatsächlich gegen die Nullstelle konvergiert und zur Abschätzung der Nährungswerte nach endlich vielen Schritten, müssen ein paar Nebenbedingungen erfüllt sein. Die Kunst der Anwendung des Newton-Verfahrens besteht im Wesentlichen darin, geeignete Startwerte x0 zu finden. Je mehr über die Funktion f bekannt ist, desto kleiner wird die Menge der infrage kommenden Startwerte. Viele nichtlineare Gleichungen haben mehrere Lösungen, so hat ein Polynom n-ten Grades bis zu n Nullstellen. Will man alle Nullstellen in einem bestimmten Bereich D ⊂ ℝ ermitteln, so muss zu jeder Nullstelle ein passender Startwert in D gefunden werden, für den die Newton-Iteration konvergiert (→ Intervallhalbierung).

Auch wenn mein Blick mehr auf den technischen Bereich der Welt gerichtet ist, so soll der kaufmännische auch nicht zu kurz kommen.

Aufgabe: break-even-point

Das Management einer Firma interessiert sich bei seinen Beratungen über die Produktion eines Produktes insbesondere für den "break-even-point", d.h. für die Stückzahl (Tagesproduktion), ab der die Einnahmen E die Gesamtkosten K übertreffen, m.a.W. ab der die Gewinnfunktion G(x) = E(x) - K(x)  positiv wird.