Einfache Funktionen

Schon in der Mittelstufe untersuchen wir, ohne jemals etwas von Differential- und Integralrechnung gehört zu haben, bestimmte Arten von elementaren Funktionen. Dazu gehören

  • konstante Funktionen
  • lineare Funktionen
  • quadratische Funktionen
  • Wurzelfunktionen
  • trigonometrische Funktionen

Der Graph aller dieser Funktionen hat etwas "Einfaches" an sich. Folgende Untersuchungen können wir anstellen:

  • Art der Symmetrie
  • Art der Monotonie
  • Verhalten im Unendlichen
  • Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  • Maximal- und Minimalwerte auf endlichen Intervallen
  • Wertemenge

Insbesondere ermöglichen uns die Ergebnisse dieser Untersuchungen ein sehr präzises Skizzieren des Graphen.

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Die Cardanischen Formeln dienen dazu die Nullstellen einer kubischen Funktion exakt zu berechnen, d.h. ohne Zuhilfenahme eines Nährungsverfahrens. Um diese Formeln anwenden zu können, müssen wir zunächst die allgemeine kubische Funktion oder die kubische Gleichung in eine kubisch reduzierte Normalform überführen.

f(x) = ax³ + bx² + cx + d
   0 = ax³ + bx² + cx + d

mittels Division durch a wird die Funktion normalisiert oder die Gleichung auf die Normalform gebracht
fN(x) =  x³ + (b⁄a)x² + (c⁄a)x +d⁄a
     0 =  x³ + (b⁄a)x² + (c⁄a)x +d⁄a

mittels Substitution mit x = y − b/(3a) erfolgt eine Transformation auf die kubisch reduzierte Funktion / die kubisch reduzierte Gleichung
[HINWEIS: Diese Transformation entspricht einer Verschiebung des Funktionsgraphen in x-Richtung, genauer: der Wendepunkt wird auf die y-Achse gesetzt.]

frN(x) =  y³ + px+ q
      0 =  y³ + px+ q

 hierbei gilt:  p = 3ac − b²  und  q =27a²d - 9abc + 2b³ 


Nun berechnet man y1, y2, y3 nach den Cardanischen Formeln für kubisch reduzierte Gleichungen und führt zum Schluss die Rücksubstitution durch:  xi = yi− b/(3a) 

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Skizzieren einer kubischen Parabel

Wir haben gesehen, dass die zu einer quadratischen Funktion gehörende Parabel sehr schnell und mit ausreichender Genauigkeit skizziert werden kann. Dasselbe ist auch für eine kubische Parabel, also den Funktionsgraphen einer kubischen Funktion, möglich. Wohlgemerkt hier ist keine Kurvendiskussion beabsichtigt, sondern lediglich ein Memorieren von Parametern mit denen ich eine kubische Parabel hinreichend gut zeichnen kann. Wie beschränken unsere Überlegungen auf die Standarddarstellung einer kubischen Funktion:

f(x) = ax³ + bx² +cx + d

Welche Eigenschaften der kubischen Parabel sind für das Skizzieren von Bedeutung?

  1. Verhalten im Unendlichen
  2. Symmetrie
  3. Wendestelle
  4. Anzahl und Lage der Extrema
  5. Anzahl und Lage der Nullstellen

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Skizzieren einer Parabel

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Wäre es nicht schön, könnte wir direkt aus der Funktionsgleichung diese Parabel skizzieren. Dabei sind lediglich nur die Parameter zu ermitteln, die das Aussehen einer Parabel bestimmen, nämlich

  • der Scheitelpunkt, also zwei Koordinaten und
  • der Öffnungsparameter, also die "Öffnungsweite" oder "Schnelligkeit" mit der sich die Parabel nach oben oder unten öffnet

Wenn wir diese beiden Parameter haben, dann sind wir sozusagen fertig. Wir brauchen nur noch ein Koordinatensystem zu zeichnen, darin den Scheitelpunkt zu suchen und von dort aus die Öffnungsweite abtragen. Die "Berechnung" dieser beiden Größen hängt von der Darstellungsform ab, in der uns die quadratische Funktion dargeboten wird. Die folgenden drei Darstellungsformen sind üblich: Standardform, Scheitelpunktform und Nullstellenform. Letztere ist natürlich nur möglich, wenn die Funktion auch Nullstellen hat.