Skizzieren einer Parabel

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Wäre es nicht schön, könnte wir direkt aus der Funktionsgleichung diese Parabel skizzieren. Dabei sind lediglich nur die Parameter zu ermitteln, die das Aussehen einer Parabel bestimmen, nämlich

  • der Scheitelpunkt, also zwei Koordinaten und
  • der Öffnungsparameter, also die "Öffnungsweite" oder "Schnelligkeit" mit der sich die Parabel nach oben oder unten öffnet

Wenn wir diese beiden Parameter haben, dann sind wir sozusagen fertig. Wir brauchen nur noch ein Koordinatensystem zu zeichnen, darin den Scheitelpunkt zu suchen und von dort aus die Öffnungsweite abtragen. Die "Berechnung" dieser beiden Größen hängt von der Darstellungsform ab, in der uns die quadratische Funktion dargeboten wird. Die folgenden drei Darstellungsformen sind üblich: Standardform, Scheitelpunktform und Nullstellenform. Letztere ist natürlich nur möglich, wenn die Funktion auch Nullstellen hat.

 

1. Scheitelpunktbestimmung in Abhängigkeit von der Darstellungsform

Darstellungsform

Funktionsgleichung

 x-Koordinate des SP  y-Koordinate des SP

Standardform

f(x) = ax² + bx + c = 0

 xs = -b (2a)  ys = c - axs² 
Scheitelpunktform

f(x) = a(x-d)² + e

 xs = d  ys = e

Nullstellenform oder
faktorisierte Form

f(x) = a(x-x1)(x-x2)
 xs = (x1+x2) ⁄2  ys = -aΔ² mit
  Δ = (x1-x2) 2

Scheue dich nicht dies zu bestätigen!

2. Auswertung des Öffnungsparameters
In allen drei Fällen ist der Öffnungsparameter sofort erkennbar, es ist der Koeffizient a. Das Rechnen bezieht sich also nur auf die Bestimmung des Scheitelpunktes. Beim Öffnungsparameter wird eine andere Fähigkeit von uns abgefragt: Wie werten wir diesen Öffnungsparameter beim Skizzieren des Graphen aus? Wir gehen folgendermaßen vor:

  • Scheitelpunkt markieren
  • nun wird vom Scheitelpunkt ausgehend jeweils ein bis drei Schritte nach rechst gegangen und von dort aus nach der folgenden Formel verfahren:
    f(xs+i) = f(xs) + a·i²,  i=1, 2, 3, …
  • da die Parabel achsensymmetrisch bezüglich einer durch den Scheitelpunkt gehenden Senkrechten ist, können wir alle rechts gefundenen Punkte nach links übertragen
  • nun werden die gefundenen Punkte miteinander kurvenförmig verbunden.

War das alles? Nicht ganz!

3. Kontrolle
Schöner wär's, wenn wir die Ergebnisse unserer Rechnung auch noch schnell im Kopf bestätigen könnten. Einen interessanten Zusammenhang zwischen den Koeffizienten der quadratischen Funktion in ihrer
 Normalform (a = 1) und ihren Nullstellen x1 und x2 hat schon vor 400 Jahren der Franzose François Viète (latinisiert: Viëta) herausgefunden. 

Satz von Vieta 

Sei f(x) eine quadratische Funktion in ihrer Normalform, also f(x) = x² + px + q, und seien x1, x2 die (notwendig) vorhandenen Nullstellen, dann gilt:  

p = -(x+ x2)
q =  
x1 · x2     

Um diesen Satz ausnutzen zu können, müssen wir von unserer Standardform zur Normalform übergehen. Dieser Übergang ist erlaubt, denn er entspricht einer Multiplikation mit 1⁄a, d.h. die Nullstellen werden hierbei nicht verändert! Im Falle der Standardform können wir also mit Hilfe der gegebenen Koeffizienten (p=b/a , q=c/a) und der zeichnerischen Ermittlung der Nullstellen die Richtigkeit der Scheitelpunktberechnung überprüfen.