Skizzieren einer kubischen Parabel

Wir haben gesehen, dass die zu einer quadratischen Funktion gehörende Parabel sehr schnell und mit ausreichender Genauigkeit skizziert werden kann. Dasselbe ist auch für eine kubische Parabel, also den Funktionsgraphen einer kubischen Funktion, möglich. Wohlgemerkt hier ist keine Kurvendiskussion beabsichtigt, sondern lediglich ein Memorieren von Parametern mit denen ich eine kubische Parabel hinreichend gut zeichnen kann. Wie beschränken unsere Überlegungen auf die Standarddarstellung einer kubischen Funktion:

f(x) = ax³ + bx² +cx + d

Welche Eigenschaften der kubischen Parabel sind für das Skizzieren von Bedeutung?

  1. Verhalten im Unendlichen
  2. Symmetrie
  3. Wendestelle
  4. Anzahl und Lage der Extrema
  5. Anzahl und Lage der Nullstellen

Wie bestimme ich die notwendigen Parameter?

  1. Das Verhalten im Unendlichen wird, wie bei allen Polynomfunktionen, durch den Leitkoeffizienten a bestimmt.
  2. Der Graph ist punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt (xw, f(xw)).
  3. Die Wendestelle liefert die Differentialrechnung im Nu. Es gilt:  xw = − b⁄(3a) .
  4. Die Anzahl der Extrema liefert ebenfalls die Differentialrechnung. Wir betrachten die Nullstelllen der 1. Ableitung.
    Für die Diskriminante D der 1. Ableitung gilt:  D = 4b² - 12ac
    D > 0 oder b² > 3ac : der Graph hat ein Minimum und ein Maximum.
    D < 0 oder b² < 3ac : der Graph hat keine Extrema
    D = 0: der Graph hat keine Extrema, jedoch ist die Wendestelle zugleich eine Sattelstelle.
    Im Fall der Existenz der Extrema entscheidet das Vorzeichen des Koeffizienten a, welches von beiden Minimum, welches Maximum ist.
  5. Falls Extrema existieren, so liegen sie beide gleich weit von der Wendestelle entfernt: ± 1⁄(3a)√(b²-3ac) 
    Berechnet man an den Extermstellen die zugehörigen y-Werte, so erfährt anhand der Vorzeichen, ob es mehr als eine Nullstelle gibt.
  6. Falls es keine Extrema gibt, so kann man wenigstens, anhand der Steigung im Wendepunkt, den ungefähren Ort der in dem Fall einzigen Nullstelle abschätzen.
    Die Steigung im Wendepunkt xw:  c − b²⁄(3a) 

Zum Skizzieren reicht dies völlig aus!

Zum "exakten" Auffinden der Nullstellen können wir uns der Cardanischen Formeln bedienen, für ungefähre, aber beliebig genaue Lösungen steht uns das Newton-Verfahren zur Verfügung.