Durch Anwendung von bestimmten Transformationen eines Graphen einer gegebenen Funktion bekommen wir Graphen von "artverwandten" Funktionen. Das gibt uns die Möglichkeit diese leicht abgewandelten Funktionsgraphen sehr schnell per Hand zu skizzieren. Umgekehrt können wir auch die Funktionsgleichung der veränderten Graphen schnell angeben. Wir betrachten in diesem Artikel die zwei wichtigsten Transformationen, nämlich

  1. die Translation (Verschiebung) in x- und in y-Richtung  und
  2. die Skalierung (Dehnung, Stauchung, Spiegelung) in x- und y-Richtung

In der mathematischen Sprache sind es (nicht lineare, sondern) affin-lineare Transformationen der Argumente bzw. der Funktionswerte. Sie lassen sich folgendermaßen notieren

Die rot markierten Parameter bewirken eine Veränderung in y-Richtung.
Die blau markierten Parameter bewirken eine Veränderung in x-Richtung.
c und d bewirken eine Translation.
a und b bewirken eine Skalierung.

Wichtig: Die hier besprochenen Transformationen können auf eine beliebige Funktion f angewandt werden. Sie ergeben stets das im Folgenden beschriebene "gleiche" Resultat.

1.) Für die horizontale und die vertikale Translation (Verschiebung, Shift) gilt (mit β >0):

Um den Graphen ... zu erhalten, müssen wir den Graphen y = f(x)
y = f(x)+β um β Einheiten aufwärts verschieben
y = f(x)−β um β Einheiten abwärts verschieben
y = f(x+β) um β Einheiten nach links verschieben
y = f(xβ) um β Einheiten nach rechts verschieben

2.) Für die horizontale und die vertikale Skalierung (also Dehnung und Stauchung) gilt (mit α >1):

Um den Graphen ... zu erhalten, müssen wir den Graphen y = f(x)
y = α · f(x) mit dem Faktor α in vertikaler Richtung dehnen
y = 1/α · f(x) mit dem Faktor α in vertikaler Richtung stauchen
y = f(α·x) mit dem Faktor α in horizontaler Richtung stauchen
y = f(x/α) mit dem Faktor α in horizontaler Richtung dehnen

3.) Für die Spiegelung um die vertikale und die horizontale Achse, gilt (mit α =−1):

Um den Graphen ... zu erhalten, müssen wir den Graphen y = f(x)
y = - f(x) um die x-Achse spiegeln
y = f(-x) um die y-Achse spiegeln

 

Hier nun etwas zum Einüben und Vertiefen des Verständnisses. Nach einem Klick auf das nebenstehende Bild wird ein separates Fenster zum Experimentieren geöffnet [Sicherheitsabfrage bestätigen!].