Folgen und Grenzwerte
Die Differential- und Integralrechnung hieß in ihren Anfängen nicht ohne Grund Infinitesimalrechnung, denn in diesen mathematischen Disziplinen führte man Begriffe und Verfahren ein, die sich mit unendlich kleinen Größen befassten. Die Bestimmung von Steigungen, Längen, Flächen und Volumina von kurvig umrandeten geometrischen Figuren ist anders nicht möglich.
Diese unendlich kleinen Größen waren lange Zeit ein Dorn im Auge der Mathematiker, denn ihre Definition ließ die sonst übliche Strenge in der Mathematik vermissen. Erst mit der Einführung des Grenzwertbegriffes Mitte des 19. Jahrhunderts wurde aus der Infinitesimalrechnung eine "exakte" Disziplin.
Die Tatsache, dass Differential- und Integralrechnung auf dem Grenzwertbegriff beruhen, ist ein ausreichender Grund sich mit diesem Objekt zu befassen. Nicht nur die Begriffe, die im Zusammenhang mit der Differential- und Integralrechnung eingeführt werden, sondern vor allem die in ihnen steckenden Ideen, werden einem nur bruchstückhaft klar, wenn man sich diese Grundlage nicht erarbeitet hat.
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- Geschrieben von Kory
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Die stetigen Funktionen haben eine schöne, sehr anschauliche Eigenschaft: ihr Funktionsgraph lässt sich "in einem Zug" zeichnen. Wie jedem bekannt sein dürfte, akzeptiert die Mathematik die Anschauung nur als Anregung, nicht aber als Hilfsmittel zur Definition von Begriffen. Daher hier erst einmal das Formale vorweg.
Sei D ⊂ ℝ, f: D → ℝ, und a ∈ D. Dann definieren wir:
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- Geschrieben von Kory
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Im Folgenden geht es um ein paar spezielle Arten von Stetigkeiten für reellwertige Funktionen auf einem beliebigen Intervall bzw. einem kompakten Intervall I. Hier wird einerseits der zentrale Begriff der Stetigkeit verschärft, andererseits abgeschächt. Der Diskussion soll das folgende Implikationsschema zugrunde liegen:
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- Geschrieben von Kory
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Eine Folge von reellen Zahlen (kurz: Folge) ist eine Abbildung f: ℕ → ℝ, n ↦ an . Anstelle von n ↦ an schreiben wir (an)n∈ℕ oder kurz (an).
Der Unterschied zu der Menge der Folgenglieder {ai | i∈ℕ} besteht darin, dass es
- auf die Reihenfolge der ai ankommt, und dass
- ein bestimmtes ai in der Folge auch mehrfach auftreten kann.
Folgen können spezielle Eigenschaften haben. Eine Folge heißt