Grenzwert einer Zahlenfolge

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Hauptkategorie: Analysis
Kategorie: Folgen und Grenzwerte

Eine Folge von reellen Zahlen (kurz: Folge) ist eine Abbildung f: ℕ → ℝ, n ↦ an . Anstelle von  n ↦ an schreiben wir (an)n∈ℕ oder kurz (an).
Der Unterschied zu der Menge der Folgenglieder {ai | i∈ℕ} besteht darin, dass es

  1. auf die Reihenfolge der ai ankommt, und dass
  2. ein bestimmtes ai in der Folge auch mehrfach auftreten kann.

Folgen können spezielle Eigenschaften haben. Eine Folge heißt

 

nach oben beschränkt Eine Folge (an) heißt nach oben beschränkt, falls gilt:
∃ k∈ℝ : an ≤ k ∀ n≥ℕ
nach unten beschränkt Eine Folge (an) heißt nach unten beschränkt, falls gilt:
∃ k∈ℝ : an ≥ k ∀ n≥ℕ
beschränkt Eine Folge (an) heißt beschränkt, falls sie nach oben und nach unten beschränkt ist.

konvergent mit Grenzwert a oder
konvergiert gegen a

 Eine Folge (an) konvergiert gegen a (oder hat den Grenzwert a), falls gilt:
∀ ε>0 ∃ N(ε)∈ℕ : |an -a| < ε ∀ n≥N(ε)
(in Zeichen: lim an = a )

oder:

Eine Folge (an) konvergiert gegen a (oder hat den Grenzwert a), falls gilt:
in jeder ε-Umgebung von a liegen fast alle Folgenglieder an

Dabei heißt

  • ε-Umgebung von a :⇔ das Intervall (a-ε, a+ε)
  • fast alle :⇔ alle bis auf endlich viele 
konvergent

Eine Folge (an) heißt konvergent, falls ein a∈ℝ existiert gegen das die Folge konvergiert.
(in Zeichen: lim an existiert )
Summe (cn) heißt die Summe der Folgen (an) und (bn), falls gilt: (cn) :=  (an+bn)
Differenz (cn) heißt die Differenz der Folgen (an) und (bn), falls gilt: (cn) :=  (an-bn)
Produkt (cn) heißt das Produkt der Folgen (an) und (bn), falls gilt: (cn) :=  (an·bn)
Quotient (cn) heißt der Quotient der Folgen (an) und (bn), falls gilt: (cn) :=  (an⁄bn) mit der Voraussetzung bn≠0 für alle n∈ℕ 

 

Einige fundamentale Sätze:

  1. Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig.
  2. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
  3. Jede monotone und beschränkte Folge ist konvergent.
  4. Die Summe, die Differenz, das Produkt und der Quotient zweier konvergenter Folgen (an), (bn) ist konvergent
    und der Grenzwert ist die Summe, die Differenz, das Produkt bzw. der Quotient (sofern lim bn≠0) der gegebenen Folgen.
  5. Für zwei Folgen (an), (bn) gilt:    an ≤ bn ∀n∈ℕ ⇒ lim an≤ lim bn .