Die stetigen Funktionen haben eine schöne, sehr anschauliche Eigenschaft: ihr Funktionsgraph lässt sich "in einem Zug" zeichnen. Wie jedem bekannt sein dürfte, akzeptiert die Mathematik die Anschauung nur als Anregung, nicht aber als Hilfsmittel zur Definition von Begriffen. Daher hier erst einmal das Formale vorweg.
Sei D ⊂ ℝ, f: D → ℝ, und a ∈ D. Dann definieren wir:
| f heißt an der Stelle a rechtsseitig stetig |
falls f an der Stelle a einen rechtsseitigen Grenzwert hat und dieser gleich dem Funktionswert ist [in Zeichen: ↘-lim f(x) = f(a) ] |
| f heißt an der Stelle a linksseitig stetig |
falls f an der Stelle a einen linksseitigen Grenzwert hat und dieser gleich dem Funktionswert ist [in Zeichen: ↗-lim f(x) = f(a) ] |
|
f heißt an der Stelle a stetig |
falls f an der Stelle a einen Grenzwert hat und dieser gleich dem Funktionswert ist. |
| oder: |
falls ∀ (xn) mit xn ∈ D gilt: lim xn = a ⇒ lim f(xn) = f(a) |
| oder: | falls ∀ ε>0 ∃ δ>0 : |x-a| < δ ⇒ |f(x)-f(a)| < ε |
| f heißt stetig | falls f an jeder Stelle des Definitionsbereiches stetig ist. |
| f heißt càdlàg | falls f an jeder Stelle des Definitionsbereiches rechtsseitig stetig ist mit existierendem linken Grenzwert [conitnue à droite, limite à gauche] |
Einige fundamentale Sätze:
- Wie bei Grenzwerten einer Funktion an einer Stelle, so gilt auch hier (also an Stetigkeitsstellen) analog:
Die Summe, die Differenz, das Produkt und der Quotient zweier an einer Stelle a stetiger Funktionen ist an der Stelle a ebenfalls stetig.
ACHTUNG: Beim Quotienten muss wieder darauf geachtet werden, dass für den Nenner g an der Stelle a gelten muss: g(a) ≠ 0. - Falls sowohl der Zähler, als auch der Nenner an der Stelle a den Wert 0 haben, kann die Untersuchung dieser Stelle mit Hilfe der Regel von de l'Hospital uns eventuell in die Lage versetzen die Funktion an dieser undefinierten(!) Stelle stetig fortzusetzen (→ hebbare Definitionslücke). Ein Beispiel hierzu ist die Spaltfunktion sin(x)/x [auch Kardinalsinus genannt]. Sie ist an der Stelle 0 stetig fortgesetzt mit dem Funktionswert 1.
