Integralrechnung

Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der Analysis. Sie ist aus dem Bedürfnis heraus entstanden auch für kurvenförmig berandete Objekte eine Flächen- bzw. Volumenbestimmung zu ermöglichen. Das Integral ist ein Oberbegriff für das unbestimmte und das bestimmte Integral. Seine Berechnung nennen wir Integration.

Zunächst eine kurze Erläuterung zur Schreibweise des Integrals von f(x), also zum Ausdruck ∫f(x) dx :
Das Integralzeichen ∫ ist aus einem langgestreckten s entstanden als Abkürzung für das Wort "Summe". Die daraufhin folgende multiplikativ zu lesende Notation f(x) dx deutet an, dass die Streifen der Höhe f(x) und der infinitesimalen Breite dx zur Fläche unter der Funktion summiert werden sollen. 

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Es gibt zwei ganz wichtige Anwendungen des HDI im Bereich der Integrationsrechnung

  1. Partielle Integration (Produktintegration)
  2. Integration durch Substitution

Beide Methoden bedienen sich einer Differentiationsregel, die mittels des HDI auf eine Regel für die Integration umgeschrieben wurde. Beide bieten die Möglichkeit zur Berechnung bestimmter Integrale und zur Bestimmung von Stammfunktionen. 

Partielle Integration

Sei I=[a, b] ein kompaktes Intervall und f,g: I → ℝ stetig differenzierbare Funktionen auf ]a, b[, dann gilt:

Die gilt aufgrund der Produktregel für die Differentiation und der Anwendbarkeit des HDI.

Diese Regel ist nur dann sinnvoll anzuwenden, wenn die Stammfunktion zu f' bekannt bzw. leicht zu berechnen ist, und wenn der Integralausdruck auf der rechten Seite einfacher zu berechnen ist, als der ursprünglicher auf der linken Seite.

Aus der Verallgemeinerung des HDI für λ-Integrale folgt dieser Zusammenhang auch bei schwächeren Voraussetzungen:

  • die mit f' gekennzeichnete Funktion muss λ-integrierbar sein
  • g muss absolut-stetig sein

Mit den oben eingeführten Bezeichnungen kann man dies auch folgendermaßen ausdrücken:

  • f und g müssen absolut-stetig sein

Allerdings habe ich jetzt keine Wahl bei der "Zuordnung" der beiden Funktionen f und g. Von welcher Funktion die Stammfunktion gesucht wird und welche Funktion differenziert werden muss ist, aufgrund der schwächeren Forderungen an die beiden Funktionen, bereits festgelegt.

Integration durch Substitution

Diese Methode ist von der Kettenregel der Differentiationsrechnung abgeleitet. Durch Einführung einer neuen Integrationsvariablen wird ein Teil des Integranden ersetzt und so ein einfacher handhabbares Integral gewonnen.

Sei I ein kompaktes Intervall, f: I → ℝ eine stetige Funktion und φ: [a, b] → I stetig differenzierbar, dann gilt:

Die Ersetzung eines Teils des Integranden erfolgt auf zweier, etwas unterschiedlicher Art. Entweder wir ersetzen

  • φ(t) auf der linken Seite durch eine Variable x=φ(t) ⇒ dx = dt*φ'(t) ⇒  dt = dx/φ'(t)  oder
  • x auf der rechten Seite durch einen Ausdruck in t, also z.B. x=φ(t) ⇒ dx = dt*φ'(t)


Tipp:

Ist der Ausgangspunkt der Integrand auf der linken Seite, dann sollte man den Variablenbezeichner gegebenfalls in t umbenennen.
Ist der Ausgangspunkt der Integrand auf der rechten Seite, dann sollte der Variablenbezeichner x sein.

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Der klassische Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) bezieht sich 

  • auf reellwertige Funktionen f
  • auf kompakte Intervalle in ℝ und
  • auf das Riemann-Integral (ℛ-Integral)

Er lautet:

HDI (1):  Sei I ein kompaktes Intervall, f: I → ℝ eine stetige Funktion, dann hat f eine Stammfunktion F und es gilt:
 

\(\int\limits_a^b f(x)\;{\rm d}x = F(b)-F(a)\hspace{0.35cm}\forall a,b \in I\)

Diese Aussage erlaubt es uns das bestimmte Integral von beliebigen stetigen Funktionen mittels ihrer Stammfunktion zu berechnen. Was so schwierig zu sein schien (siehe Definition und Entwicklung des Riemann-Integrals: Keine Unterteilungen, keine Riemannsche Summen, keine Grenzwerte), wird in manchen Fällen nun zum Kinderspiel, denn aufgrund dieses Satzes brauche ich "nur" die Stammfunktion des Integranden zu finden, also eine Funktion, deren Ableitung meine gegebene Funktion ist. Somit werden Integrationsprobleme mit Hilfe der Differentiation gelöst. Einige Beispiele:

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Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) für das Lebesque(λ)-Integral  kann analog zum klassischen HDI formuliert werden. Wichtig hierbei ist, dass sämtliche Integrale nicht ℛ-Integral, sondern λ-Integrale sind.
HDI (4):  Sei I ein kompaktes Intervall und f : I → ℝ eine λ-integrierbare Funktion, dann hat f eine absolut-stetige Stammfunktion F und es gilt:
 

\(\int\limits_a^b f(x)\;{\rm d}x = F(b)-F(a)\hspace{0.35cm}\forall a,b \in I\)
 umgekehrt:  Ist F eine absolut-stetige Funktion, dann existiert F' f.ü., F' ist λ-integrierbar und die obere Formel gilt.

Eines der wesentlichen Punkte dieses Satzes ist auch seine Umkehrbarkeit. Hier zeigt die Umkehrung, dass wir (mittels des λ-Integrals) nicht weiter auf die Suche nach einer größeren Funktionsklasse zur Beschreibung von Stammfunktionen gehen müssen. Knapper und einprägsamer lautet er:

  1. Absolut-stetige Funktionen