Maßtheorie

Geometrisch einfachen Teilmengen der Zahlengeraden, der Ebene und des Anschauungsraumes ordnet man in der Elementargeometrie "Maßzahlen" zu, die wir Länge, Fläche und Volumen nennen. Von der Anschauung her ist dabei zunächst nur klar, wie man die Länge einer Strecke, die Fläche eines Rechtecks und das Volumen eines Quaders zu definieren hat. Darauf aufbauend kann man mit elementar-geometrischen Methoden Länge, Fläche bzw. Volumen komplizierterer Mengen bestimmen, indem man gewisse Rechenregeln für den Umgang mit solchen Maßzahlen akzeptiert.

Denkt man etwa an die Bestimmung der Fläche eines offenen Dreiecks, so zerlegt man dieses durch eine Höhenstrecke in zwei rechtwinklige, offene Dreiecke und in die Höhenstrecke. Ein rechtwinkliges Dreieck anderseits entsteht durch diagonales Halbieren eines entsprechenden Rechtecks. Folgende zwei Regeln führen dann zur Flächenbestimmung eines Dreiecks:

  • kongruente Mengen haben die gleiche Maßzahl (Bewegungsinvarianz)
  • die Maßzahl einer Vereinigung zweier disjunkte Mengen ist die Summe der Einzelmaßzahlen (Additivität)

Die Grenzen dieser Vorgehensweise sind aber sehr schnell erreicht.
Die Frage nach einer allgemeinen Methode, mit deren Hilfe "möglichst viele" Teilmengen des ℝn (für beliebige Dimension n) ein n‑dimensionales Volumen als Maßzahl zugeordnet werden kann, hat zur Entwicklung der Maßtheorie geführt. Der Schlüssel zu der Antwort, der auch noch wesentlich allgemeinere Maßzahlen als das Volumen liefert, ist die Verallgemeinerung der zweiten Regel:

  • die Maßzahl einer abzählbaren Vereinigung von paarweise disjunkten Mengen ist die Summe der Einzelmaßzahlen (σ‑Additivität)

Um Maßzahlen definieren zu können, brauchen wir zunächst ein Teilmengensystem einer Grundmenge Ω, das möglichst groß ist und darüber hinaus bestimmte zusätzliche Anforderungen erfüllt. Die Potenzmenge selbst ist nur für abzählbare Grundmengen ein geeignetes Mengensystem. Bei überabzählbarer Grundmenge stoßen wir bei der Potenzmenge ℘(Ω) als "bewertbares" Mengensystem auf Schwierigkeiten (→ Banach-Tarski). Wir müssen daher auf ein gröberes Teilmengensystem ℨ [⊂ ℘(Ω)] zurückgreifen. 

Die Borel-σ-Algebra  ist die wichtigste σ-Algebra auf der Menge der reellen Zahlen. Sie wird von den offenen Mengen und damit auch von den abgeschlossenen Mengen aus ℝ erzeugt und wie wir sehen werden auch noch von viel kleineren Mengensystemen. Dass die Borel-σ-Algebra  wesentlich kleiner ist als die Potenzmenge von ℝ, stört uns dabei wenig, denn für alle interessanten Teilmengen von ℝ haben wir jetzt die Möglichkeit Maßzahlen zu definieren, die Mengen sozusagen zu "bewerten". Doch zunächst ein Versuch sie wenigsten noch etwas größer zu machen.

Vervollständigung der Borel-σ-Algebra bzgl. des Lebesgue-Borelschen Maßes λ

Exkurs:

Definition: Vollständiges Maß bzw. vollständiger Maßraum

(Ω, Σ, µ) heißt vollständig, falls jede Teilmenge einer µ-Nullmenge zur σ-Algebra Σ gehört (und somit selbst eine µ-Nullmenge ist).

 

Satz: Vervollständigung eines beliebigen Maßes

Jedes Maß µ bzw. der zugehöriger Maßraum (Ω, Σ, µ) kann durch Vervollständigung "in natürlicher Weise" zu einem vollständigen Maß µ0 (auf einer feineren σ-Algebra Σ0⊃Σ) fortgesetzt werden.
µ0 heißt µ-Vervollständigung
Σheißt µ-Vervollständigung von Σ

 

Zwei Charakteristika einer µ-Vervollständigung einer σ-Algebra Σ:

  1. Eine µ-Vervollständigung Σ0 von Σ besteht aus allen Mengen, die sich als Vereinigung einer Menge aus Σ und einer Teilmenge einer µ-Nullmenge darstellen lassen, d.h. A0∈Σ0 genau dann, wenn  A0=A1∪N  mit A1,A2∈Σ  und N⊂A2 und µ(A2)=0 
  2. Eine µ-Vervollständigung Σ0 von Σ besteht aus allen Mengen, für die es eine Ober- und Untermenge in Σ gibt, deren Differenzmenge eine µ-Nullmenge ist, d.h. A0∈Σ0 genau dann, wenn ∃ A1,A∈ Σ mit  A1⊂A0⊂A2 und µ( A2\A1)=0

Das Lebesgue-Borel-Maß λ ist kein vollständiges Maß.

Die λ-Vervollständigung (die Vervollständigung des Lebesgue-Borel-Maß λ) heißt Lebesgue-Maß. Es wird mit λ0 bezeichnet.
Die λ-Vervollständigung der Borel-σ-Algebra  (Borel-Mengen), heißt Lebesgue-σ-Algebra (Lebesgue-Mengen). Sie wird mit 0 bezeichnet.

Das Lebesgue-Maß ist ein Maß mit dem wir wesentlich mehr Mengen (Lebesgue-Mengen) bewerten könnten. Allerdings hätte dieser Übergang zu einer feineren σ-Algebra zwei wesentliche Nachteile:

  1. Die Eigenschaft der Borel-Mengen, nur von den offenen Mengen aus ℝ bestimmt zu sein, geht verloren.
  2. Auf der Borel-σ-Algebra gibt es viele wichtige Maße, die ebenfalls ohne die Vervollständigung auskommen.

Im allgemeinen Sprachgebrauch macht man daher keine Unterscheidung zwischen Borel und Lebesgue und arbeitet stets mit (ℝ, , λ), d.h. ohne Vervollständigung.