Reihenentwicklung

Unter einer Reihenentwicklung versteht man in der Mathematik die Technik eine Funktion als unendliche Summe (Reihe) von Potenzen ihrer Variablen oder von Potenzen anderer elementarer Funktionen darzustellen. Diese Darstellungsform wird meist verwendet, falls die Funktion selbst nicht aus elementaren Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) aufgebaut ist. Reduziert man die unendliche Summe auf endlich viele Summanden, so bekommt man eine Näherung der Funktion. Diese Näherung ist umso einfacher, je weniger Glieder genommen werden und umso besser, je mehr Glieder mit von der Partie sind. Häufig lässt sich die dabei entstandene Ungenauigkeit, also das so genannte Restglied formelhaft beschreiben. 

Folgende Reihenentwicklung haben sich als sehr nützlich erwiesen:

  • Taylorreihen ( \(x^n, \; n\in \Bbb{N}\) )
  • Laurentreihen ( \(x^n,\; n\in \Bbb{Z}\) )
  • Fourierreihen  ( \((\cos(x)+i \sin(x))^n,\; n\in \Bbb{N}\) → Moivresche Formel )
  • Bernsteinreihen (→ Bernsteinpolynome)

Bemerkung:

Bei der Reihenentwicklung geht es im Kern um die Approximation einer Funktion zum Zwecke einer besseren Handhabung für bestimmte Aufgaben.

Details
Hauptkategorie: Analysis
Kategorie: Reihenentwicklung

Der Begriff Taylorreihe einer (glatten) Funktion \(f\in{\cal C^\infty}(D)\) ist eng mit dem Begriff der reell-analytische Funktionen \({\cal C^\omega}(D)\) verknüpft. Da ich hier nicht die Absicht hege die Funktionen auf  \(\mathbb{C}\) zu erweitern, lasse ich im Folgenden auch das Präfix reell weg und spreche nur von analytischen Funktionen. Ferner wird vorausgesetzt, dass \(D\) eine offene Menge aus \(\mathbb{R}\) sei.

Zuallererst ein paar Begriffsklärungen:

Definition 1: Taylorreihe einer Funktion mit Entwicklungsstelle a

Sei \(f\) eine glatte Funktion auf \(D\) und \(a\in D\). Dann heißt die folgende unendliche Reihe \(T_af(x)\)\[T_af(x):= \sum\limits^\infty_{n=0}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \]die Taylorreihe von \(f\) mit Entwicklungsstelle \(a\).