Analytische Geometrie
Das Thema der analytischen Geometrie ist die rechnerische Lösung von geometrischen Fragestellungen. Insbesondere können alle in der Elementargeometrie mit Zirkel und Lineal konstruierten Objekte auch auf diesem Wege beschrieben werden. Grundvoraussetzung, um eine geometrische (d.h. flächige oder räumliche) Form rechnerisch bearbeiten zu können, ist die Festlegung eines Koordinatensystems. Für die meisten Fragestellungen ist hier das kartesische Koordinatensystem am geeignetsten.
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- Geschrieben von Kory
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- Kategorie: Analytische Geometrie
Die analytische Geometrie beginnt mit der Definition von Vektoren. Wir verzichten hier erst einmal auf die allgemeine Einführung von Vektoren als Elemente eines Vektorraumes und begnügen uns mit einer anschaulichen Sicht auf diese Objekte.
Bei einer Parallelverschiebung einer Fläche im \(\mathbb R^2\) bzw. eines Körpers im \(\mathbb R^3\) werden alle Punkte dieser Fläche bzw. dieses Körpers in gleicher Weise verschoben. Diese Verschiebung aller Punkte kann durch einen einzigen Pfeil (den Verschiebungspfeil) gekennzeichnet werden. Aus diesem Grunde ist es sinnvoll alle Pfeile der Ebene bzw. des Raumes, die die gleiche Länge und die gleiche Richtung haben, zu einer Klasse zusammenzufassen. Eine solche Klasse von Pfeilen nennen wir einen Vektor.
Bemerkung:
Der Begriff Richtung ist, wie so vieles in der Alltagssprache, mehrdeutig. Wir sprechen einerseits von Nord-Süd-Richtung und meinen nur den "Richtungsverlauf", anderseits sprechen wir auch von Süd-West-Richtung und meinen dabei sowohl den "Richtungsverlauf" als auch den "Richtungssinn" (Nord-Ost-Richtung ist demnach eindeutig eine andere Richtung). Um diese Mehrdeutigkeit nicht in die Mathematik einfließen zu lassen, sollten wir die obere Definition präzisieren:
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- Geschrieben von Kory
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Dies hier ist nur eine kurze Zusammenfassung der wichtigsten Operationen mit Vektoren. Die Beispiele beziehen sich auf Vektoren des \(\mathbb R^3\) sind aber, abgesehen vom Vektorprodukt, für Vektoren beliebiger Dimension in gleicher Art definiert.
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- Geschrieben von Kory
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Wie wir aus der Einführung in die analytische Geometrie bereits wissen, sind die einfachsten Objekte der Geometrie, nämlich die Punkte, durch die Ortsvektoren eindeutig bestimmt. Zu den Objekten, die wir darüber hinaus mittels der Vektoren sehr leicht beschreiben können, gehören