Die analytische Geometrie beginnt mit der Definition von Vektoren. Wir verzichten hier erst einmal auf die allgemeine Einführung von Vektoren als Elemente eines Vektorraumes und begnügen uns mit einer anschaulichen Sicht auf diese Objekte.

Bei einer Parallelverschiebung einer Fläche im \(\mathbb R^2\) bzw. eines Körpers im \(\mathbb R^3\) werden alle Punkte dieser Fläche bzw. dieses Körpers in gleicher Weise verschoben. Diese Verschiebung aller Punkte kann durch einen einzigen Pfeil (den Verschiebungspfeil) gekennzeichnet werden. Aus diesem Grunde ist es sinnvoll alle Pfeile der Ebene bzw. des Raumes, die die gleiche Länge und die gleiche Richtung haben, zu einer Klasse zusammenzufassen. Eine solche Klasse von Pfeilen nennen wir einen Vektor.

Bemerkung:
Der Begriff Richtung ist, wie so vieles in der Alltagssprache, mehrdeutig. Wir sprechen einerseits von Nord-Süd-Richtung und meinen nur den "Richtungsverlauf", anderseits sprechen wir auch von Süd-West-Richtung und meinen dabei sowohl den "Richtungsverlauf" als auch den "Richtungssinn" (Nord-Ost-Richtung ist demnach eindeutig eine andere Richtung). Um diese Mehrdeutigkeit nicht in die Mathematik einfließen zu lassen, sollten wir die obere Definition präzisieren:

Ein Vektor ist eine Pfeilklasse, in der die folgenden drei Eigenschaften gelten:

  1. Die Pfeile haben die gleiche Länge / den gleichen Betrag.
  2. Die Pfeile haben den gleichen "Richtungsverlauf", d.h. sie sind zueinander parallel.
  3. Die Pfeile haben den gleichen "Richtungssinn" / die gleiche Orientierung.

Bemerkungen:

  • Jeder Pfeil dieser Pfeilklasse ist ein Repräsentant des Vektors oder anders ausgedrückt: Jeder Vektor ist schon durch einen einzigen "seiner" Pfeile festgelegt.
  • Damit wir Vektoren addieren und subtrahieren können, definieren wir zusätzlich noch einen speziellen Vektor mit der Länge 0. Diesen Vektor nennen wir Nullvektor. Er ist der einzige Vektor, der nicht durch einen Pfeil dargestellt werden kann und auch keine Orientierung besitzt.
  • Vektoren werden mit einem kleinen lateinische Buchstaben und einem darübergesetzten Pfeil gekennzeichnet, also z. B. so \(\vec v\).
  • Zu jedem Vektor \(\vec a\) gibt es genaue einen parallelen Vektor gleicher Länge, der eine entgegengesetzte Orientierung hat. Diesen Vektor nennen wir den Gegenvektor von \(\vec a\) und notieren ihn mit \(-\vec a\).

Ein Vector hat per Definition keinen Anfangs- und keinen Endpunkt. Er kann daher allein durch 2 bzw. 3 Koordinaten beschrieben werden. Diese geben an, um wie viel man sich in jede Koordinatenrichtung bewegen muss, um vom Anfangspunkt zum Endpunkt zu gelangen. Sind die Koordinaten eines Vektors durch \(a_x,a_y,a_z\) gegeben, dann ist die folgende Notation
\(\boxed{\vec a =\left\lgroup\begin{matrix} a_x\\a_y\\a_z\end{matrix}\right\rgroup}\) die so genannte Koordinaten­darstellung eines Vektors im \(\mathbb R^3\).

Spezielle Vektoren

  • Ein Vektor, bei dem zusätzlich der Anfangs- und der Endpunkt fest sind, heißt fester Vektor.
    Er wird durch Angabe dieser beiden Punkte und mit einem darübergesetzten Pfeil gekennzeichnet. 
    \(\vec {AB}\) ist der Vektor vom Punkt A zum Punkt B. Er heißt Verbindungs­vektor von A zu B.
  • Ein fester Vektor, bei dem der Anfangspunkt der Koordinatenursprung ist, heißt Ortsvektor.
    Jedem Punkt der Ebene bzw. des Raumes können wir somit "seinen" Ortsvektor zuordnen.
  • Ein Vektor mit der Länge 1 heißt Einheitsvektor.

Sind \(\vec {e_x}, \vec {e_y} \text{ und }\vec {e_z}\) die Einheitsvektoren in Richtung der Koordinatenachsen, dann ist \(\boxed{\vec a=a_x\vec {e_x} + a_y\vec {e_y} +a_z\vec {e_z}}\) die Komponenten­darstellung eines Vektors im \(\mathbb R^3\) und die \(a_i\vec {e_i} \) die Komponenten von \(\boldsymbol{\vec a}\).