Dies hier ist nur eine kurze Zusammenfassung der wichtigsten Operationen mit Vektoren. Die Beispiele beziehen sich auf Vektoren des \(\mathbb R^3\) sind aber, abgesehen vom Vektorprodukt, für Vektoren beliebiger Dimension in gleicher Art definiert.

  1. Betrag eines Vektors \(|\vec{a}|= \sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} \)
  2. Addition von Vektoren (= komponentenweise Addition)
  3. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (= Multiplikation jeder Komponente mit diesem Skalar)
  4. Skalarprodukt von 2 Vektoren \(\vec{a}\cdot\vec{b}:=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos\measuredangle(\vec{a},\vec{b})= a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z\)
    Aus der ersten Gleichung geht hervor, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich dem Produkt der Länge des einen Vektors mit der Länge der Projektion des anderen Vektors auf den ersten Vektor ist. Typisches Beispiel für das Skalarprodukt ist die physikalische Arbeit, also das Produkt von (Weg)*(Kraft entlang des Weges). Die Gültigkeit des zweiten Gleichheitszeichen folgt aus der Komponentendarstellung der Vektoren und dem Distributivgesetz (→ gute Übung). 
  5. Vektorprodukt von 2 Vektoren \(\vec{a}\times\vec{b}=\left\lgroup\begin{matrix} a_x\\a_y\\a_z\end{matrix}\right\rgroup\times\left\lgroup\begin{matrix} b_x\\b_y\\b_z\end{matrix}\right\rgroup := \left\lgroup\begin{matrix} a_yb_z-a_zb_y\\a_zb_x-a_xb_z\\a_xb_y-a_yb_x\end{matrix}\right\rgroup\).
    Das Vektorprodukt hat folgende Eigenschaften:
    • \(\vec{a}\times\vec{b}\) ist ein Vektor, der jeweils orthogonal zu \(\vec{a}\) und zu \(\vec{b}\)
    • \(\vec{a},\vec{b} \text{ und }\vec{a}\times\vec{b}\) bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (die drei Finger der rechten Hand)
    • \(|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\sin\measuredangle(\vec{a},\vec{b})\). Dies entspricht der Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms.
    • Es gilt das Alternativgesetz: \(\vec{a}\times\vec{b}= -\vec{b}\times\vec{a}\)
  6. Spatprodukt von 3 Vektoren (= Hintereinanderausführung von Vektor- und Skalarprodukt)
    Das Spatprodukt hat folgende Eigenschaften:
    • \((\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=(\vec{b}\times\vec{c})\cdot\vec{a} \) (gilt bei zyklischer Vertauschung der Vektoren)
    • Der Betrag des Spatproduktes ist gleich dem Volumen des von \(\vec{a},\vec{b}\text{ und }\vec{c}\) aufgespannten Spates: \(V_{Spat}=|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|\)