Wie wir aus der Einführung in die analytische Geometrie bereits wissen, sind die einfachsten Objekte der Geometrie, nämlich die Punkte, durch die Ortsvektoren eindeutig bestimmt. Zu den Objekten, die wir darüber hinaus mittels der Vektoren sehr leicht beschreiben können, gehören
in der Ebene (\(\mathbb R^2\)):
- die Gerade und
- der Kreis
im Raum (\(\mathbb R^3\)):
- die Gerade
- die Ebene und
- die Kugel
Die meisten Objekte können auf unterschiedliche Weise beschrieben werden. Jede dieser Beschreibungen/Darstellungen besitzt eine Vektorform und eine entsprechende Koordinatenform . Eine kurze Anleitung zur Umwandlung der einen Form in die jeweils andere Form gebe ich im Anschluss an die hier angegebenen Vektorformen.
Bemerkung:
Folgende Synonyme sind in der Literatur und der Praxis geläufig:
- Vektorform = Parameterform
- Koordinatenform = parameterfreie Form
Weiterhin können wir für die Endung -form auch die Endung -gleichung oder -schreibweise verwenden.
Darstellungen in Vektorform
| für die Gerade im \(\mathbb R^2\) und \(\mathbb R^3\) | |
| Punktrichtungsgleichung e. Geraden | Gerade mit Stützvektor \(\vec{p}\) und Richtungsvektor \(\vec{u}\) |
| \(g: \vec{x}=\vec{p}+\lambda\vec{u},\quad\lambda\in\mathbb R\) | |
| Zweipunktegleichung e. Geraden | Gerade durch die Punkte P und Q mit den Ortsvektoren \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) |
| \(g: \vec{x}=\vec{p}+\lambda(\vec{q}-\vec{p}),\quad\lambda\in\mathbb R\) | |
| für die Gerade im \(\mathbb R^2\) | |
| Normalform einer Geraden | Gerade mit Stützvektor \(\vec{p}\) und Normalenvektor \(\vec{n}\) |
| \(g: (\vec{x}-\vec{p})\cdot\vec{n}=0\) | |
| Hessesche Normalform e. Geraden | Gerade mit Stützvektor \(\vec{p}\) und Normaleneinheitsvektor \(\vec{n_0}\) |
| \(g: (\vec{x}-\vec{p})\cdot\vec{n_0}=0\) Hierbei ist \(\vec{p}\cdot\vec{n_0}\) der orientierte Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung. |
|
| für den Kreis im \(\mathbb R^2\) | |
| Mittelpunkt-Radius-Gleichung | mit Mittelpunktsvektor \(\vec{m}\) und Radius \(r\) |
| \(k: (\vec{x}-\vec{m})^2 = r^2\) | |
| für die Tangente eines Kreises im \(\mathbb R^2\) | |
| Normalform einer Tangente mit Vektoren vom Berührungspunkt |
Tangente t am Berührungspunkt P eines Kreises mit Mittelpunkt M |
| \(t: (\vec{x}-\vec{p})\cdot(\vec{p}-\vec{m})=0\) | |
| Normalform einer Tangente mit Vektoren vom Mittelpunkt |
Tangente t am Berührungspunkt P eines Kreises mit Mittelpunkt M und Radius r |
| \(t: (\vec{x}-\vec{m})\cdot(\vec{p}-\vec{m})=r^2\) | |
| für die Ebene im \(\mathbb R^3\) | |
| Punktrichtungsgleichung einer Ebene | Ebene E mit Stützvektor \(\vec{p}\) und den Richtungsvektor \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) |
| \(E: \vec{x}=\vec{p}+\lambda\vec{u}+\mu\vec{v},\quad\lambda,\mu\in\mathbb R\) | |
| Dreipunktegleichung einer Ebene | Ebene durch die Punkte P, Q und R mit den Ortsvektoren \(\vec{p}, \vec{q}\) und \(\vec{r}\) |
| \(E: \vec{x}=\vec{p}+\lambda(\vec{q}-\vec{p})+\mu(\vec{r}-\vec{p}),\quad\lambda,\mu\in\mathbb R\) | |
| Normalform einer Ebene | Ebene mit Stützvektor \(\vec{p}\) und Normalenvektor \(\vec{n}\) |
| \(E: (\vec{x}-\vec{p})\cdot\vec{n}=0\) | |
| Hessesche Normalform einer Ebene | Ebene mit Stützvektor \(\vec{p}\) und Normalenvektor \(\vec{n_0}\) |
|
\(E: (\vec{x}-\vec{p})\cdot\vec{n_0}=0\) |
|
| für die Kugel im \(\mathbb R^3\) | |
| Mittelpunkt-Radius-Gleichung | mit Mittelpunktsvektor \(\vec{m}\) und Radius \(r\) |
| \(K: (\vec{x}-\vec{m})^2 = r^2\) | |
| für die Tangentialebene einer Kugel | |
| Normalform einer Tangentialebene mit Vektoren vom Berührungspunkt |
Tangentialebene T am Berührungspunkt P einer Kugel mit dem Mittelpunkt M |
| \(T: (\vec{x}-\vec{p})\cdot(\vec{p}-\vec{m})=0\) | |
| Normalform einer Tangentialebene mit Vektoren vom Mittelpunkt |
Tangentialebene T am Berührungspunkt P einer Kugel mit dem Mittelpunkt M und Radius r |
| \(T: (\vec{x}-\vec{m})\cdot(\vec{p}-\vec{m})=r^2\) |
Umwandlung der Darstellungsformen
Ganz allgemein, ohne auf die Besonderheiten der jeweiligen Objekte einzugehen, erfolgt die Umwandlung der auf Richtungsvektoren basierenden Vektorform durch
- Koordinatenvergleich und anschließender
- Eliminierung des oder der Parameter(s)
Die Umwandlung der auf einem Normalenvektor basierenden Vektorform erfolgt einfach durch Berechnung des Skalarproduktes. Ist der Normalenvektor ein Normaleneinheitsvektor, so bestimme ich auf diese Weise gleichzeitig den Abstand des Objektes vom Koordinatenursprung (Übungsaufgabe!).
Tipps:
- Im \(\mathbb R^2\) ist ein orthogonaler Vektor zu einem Vektor \(\vec{a}=\binom{a_1}{a_2}\) z. B. der Vektor \(\binom{-a_2}{a_1}\).
- Im \(\mathbb R^3\) ist ein orthogonaler Vektor zu einem Vektor \(\vec{a}\) mit den Koordinaten \(a_1, a_2, a_3\) beispielsweise ein Vektor \(\vec{b}\), dessen eine Koordinate auf 0 gesetzt wird, z.B. \(b_1=0\), und dessen andere beiden Koordinaten wie im zweidimensionalen Fall behandelt werden, also \(b_2=-a_3, b_3=a_2\).