Hilfsmittel der Veranschaulichung einer Ebene

Ausgehend von der allgemeinen parameterfreien Gleichung einer Ebene \(\varepsilon: ax +by +cz = d\) mit \(a^2+b^2+c^2>0 \) ist klar, dass die Lage der Ebene im Raum durch die drei Koeffizienten und das absolute Glied bestimmt wird. Wie aber die Lage im konkreten Fall wirklich aussieht, bleibt meist im Dunkeln. Dies muss nicht so sein. Die drei Koeffizienten sind nämlich die Koordinaten eines Normalenvektors \(\vec{n}\) der Ebene. Ist dieser normiert, d.h. \(a^2+b^2+c^2=1 \), so ist \(d\) der "orientierte" Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung, andernfalls ist es \(d/\|\vec{n}\|\). Mit etwas räumlicher Vorstellungskraft wird also mittels des Normaleneinheitsvektor die Lage der Ebene schon recht gut erfasst.

Ein noch stärkeres Hilfsmittel für die Beurteilung der Lage der Ebene sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen. Schneidet eine Ebene alle drei Achsen, so gilt für die Schnittpunkte, wie man sich leicht vergewissern kann: \(x_s=\frac{d}{a},y_s=\frac{d}{b}, z_s=\frac{d}{c}\). Daraus ergibt sich für den Fall, dass die Ebene nicht durch den Koordinatenursprung geht, eine weitere Darstellungsart der Ebene, die so genannte Achsenabschnittsgleichung der Ebene  \(\varepsilon: \frac{x}{x_s} +\frac{y}{y_s} +\frac{z}{z_s} = 1\).

Die folgenden Sonderfälle sind ebenfalls sehr hilfreich.

1. \(a=0\phantom{=b}\; \Rightarrow\quad \varepsilon \perp yz-Ebene\)
2. \(b=0\phantom{=b}\; \Rightarrow\quad \varepsilon \perp xz-Ebene\)
3. \(c=0\phantom{=b}\; \Rightarrow\quad \varepsilon \perp xy-Ebene\)
4. \(a=b=0 \Rightarrow\quad \varepsilon \perp z-Achse\)
5. \(a=c=0 \Rightarrow\quad \varepsilon \perp y-Achse\)
6. \(b=c=0 \Rightarrow\quad \varepsilon \perp x-Achse\)

Sie lassen sich zusammenfassend wie folgt formulieren: