Wenn sich die bisher betrachteten Objekte (Punkte, Geraden, Ebenen, Kreise) nicht schneiden, dann kann man mit Hilfe geeigneter Vektoren und des Skalarproduktes immerhin den Abstand zwischen den betreffenden zwei Objekte bestimmen. Die Betrachtung beschränken sich hier auf den \(\mathbb R^3\) (für den \(\mathbb R^2\) gilt Entsprechendes).
Der Abstand von zwei Punkten P und Q mit den Ortsvektoren \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\)
\(d(P,Q) = |\vec{PQ}| = |\vec{q}-\vec{p}| = \sqrt{(q_x-p_x)^2+(q_y-p_y)^2+(q_z-p_z)^2}\)
Der Abstand eines Punktes Q von einer Ebene \(\varepsilon\) mit Ortsvektor \(\vec{q}\) und Ebenengleichung \((\vec{x}-\vec{p})\cdot\vec{n}_0=0\)
\(d(Q,\varepsilon) = |(\vec{q}-\vec{p})\cdot\vec{n}_0|\), d.h. der Ortsvektor von Q wird in die Hessesche Normalenform der Ebene eingesetzt.
Der Abstand einer Gerade von einer (parallelen) Ebene
= Abstand eines beliebigen Punktes auf der Geraden zu der Ebene, d.h. Rückführung auf ein bereits gelöstes Abstandsproblem.
Der Abstand von zwei (parallelen) Ebenen
= Abstand eines beliebigen Punktes der einen Ebene zu der Ebene.
Der Abstand eines Punktes Q von einer Geraden g im \(\mathbb R^2\)
vgl. Abstand eines Punktes von einer Ebene
Der Abstand eines Punktes Q von einer Geraden g im \(\mathbb{R^3}\) mit \(\vec{q}\) und \(g: \vec{x}=\vec{p}+\lambda\vec{u}\)
[Bemerkung: eine Normalenform der Gerade steht uns hier, im Gegensatz zur Situation im \(\mathbb R^2\), nicht zur Verfügung!]
Berechnung erfolgt über den Fußpunkt L des Lotes von Q auf g. Wir ermitteln diesen Fußpunkt in mehreren Schritten
- Verwendung der Parametergleichung für den unbekannten Punkt L (\(\vec{l}=\vec{p}+\lambda\vec{u}\))
- Lösen der Gleichung \(\vec{QL}\cdot\vec{u}= (\vec{l}-\vec{q})\cdot\vec{u}=0\) nach \(\lambda \quad \leadsto \lambda_l\).
- Bestimmung des Punktes L mittels \(\lambda_l\).
\(d(Q,g)=|\vec{QL}|\)
Einfacher ist jedoch die Verwendung des Vektorproduktes.
\(d(Q,g)=\frac{|\vec{u}\times\overrightarrow{QP}|}{|\vec{u}|}\)
Der Abstand von zwei parallelen Geraden g und h im \(\mathbb{R^3}\) mit \(g: \vec{x}=\vec{p}_1+\lambda_1\vec{u}\;\text{ und }\; h:\vec{x}=\vec{p}_2+\lambda_2\vec{u}\)
= Abstand eines beliebigen Punktes der einen Geraden zu der anderen Geraden, d.h. abermals Rückführung auf ein bereits gelöstes Abstandsproblem.
Einfacher ist auch hier die Verwendung des Vektorproduktes.
\(d(g,h)=\frac{|\vec{u}\times\overrightarrow{P_1P_2}|}{|\vec{u}|}\)
[Hinweis: Der Zähler entspricht dem Fächeninhalt eines Parallelogramms. Wenn wir die eine Seite dieses Parallelogramms auf 1 setzen, dann entspricht der Flächeninhalt genau der Höhe dieses Parallelogramms von diesem Einheitsvektor aus betrachtet.]
Der Abstand von zwei windschiefen Geraden g und h im \(\mathbb{R^3}\) mit \(g: \vec{x}=\vec{p}_1+\lambda_1\vec{u}\;\text{ und } \;h:\vec{x}=\vec{p}_2+\lambda_2\vec{v}\)
\(d(g,h)=\frac{|(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\overrightarrow{P_1P_2}|}{|\vec{u}\times\vec{v}|}\)
[Hinweis: Der Zähler entspricht dem Volumeninhalt eines Parallelepipeds (Spats). Wenn wir die eine Fläche dieses Spats auf 1 setzen, dann entspricht der Volumeninhalt genau der Höhe dieses Spats von dieser Einheitsfläche aus betrachtet.]