Analytische Geometrie

Das Thema der analytischen Geometrie ist die rechnerische Lösung von geometrischen Fragestellungen. Insbesondere können alle in der Elementargeometrie mit Zirkel und Lineal konstruierten Objekte auch auf diesem Wege beschrieben werden. Grundvoraussetzung, um eine geometrische (d.h. flächige oder räumliche) Form rechnerisch bearbeiten zu können, ist die Festlegung eines Koordinatensystems. Für die meisten Fragestellungen ist hier das kartesische Koordinatensystem am geeignetsten.

Hilfsmittel der Veranschaulichung einer Ebene

Ausgehend von der allgemeinen parameterfreien Gleichung einer Ebene \(\varepsilon: ax +by +cz = d\) mit \(a^2+b^2+c^2>0 \) ist klar, dass die Lage der Ebene im Raum durch die drei Koeffizienten und das absolute Glied bestimmt wird. Wie aber die Lage im konkreten Fall wirklich aussieht, bleibt meist im Dunkeln. Dies muss nicht so sein. Die drei Koeffizienten sind nämlich die Koordinaten eines Normalenvektors \(\vec{n}\) der Ebene. Ist dieser normiert, d.h. \(a^2+b^2+c^2=1 \), so ist \(d\) der "orientierte" Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung, andernfalls ist es \(d/\|\vec{n}\|\). Mit etwas räumlicher Vorstellungskraft wird also mittels des Normaleneinheitsvektor die Lage der Ebene schon recht gut erfasst.

Die Schnittwinkel zwischen den bisher behandelten Objekten ergeben sich ausschließlich aus der Definition des Skalarproduktes. Für Geraden ist der Richtungsvektor, für Ebenen der Normalenvektor entscheidend.

Wenn sich die bisher betrachteten Objekte (Punkte, Geraden, Ebenen, Kreise) nicht schneiden, dann kann man mit Hilfe geeigneter Vektoren und des Skalarproduktes immerhin den Abstand zwischen den betreffenden zwei Objekte bestimmen. Die Betrachtung beschränken sich hier auf den \(\mathbb R^3\) (für den \(\mathbb R^2\) gilt Entsprechendes).