Grundlagen der Mathematik

Die Grundlagen der Mathematik sind schnell genannt. Dazu gehören

  • die Logik,
  • die Mengenlehre und
  • das Zahlensystem

Alle drei beschäftigen sich mit Objekten (nämlich Aussagen, Mengen bzw. Zahlen) und ein- oder zweistelligen Operationen ({¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ ∀ ∃}, {c ∩ ∪ \ Δ ⊂ ∈ ×} bzw. {– + · / ^}) auf ihnen. Das Wissen in diesen Bereichen ist zwar für das Verständnis weiter Teile der Mathematik nicht grundsätzlich erforderlich, aber auf jeden Fall sehr hilfreich. Im Übrigen lernt man diese Grundlagen auch im Nachhinein, peu à peu.

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Logik

Die Aussagenlogik beschäftigt sich mit allgemeinen Prinzipien des korrekten Argumentierens und Schlussfolgerns. Ihr Hauptinteresse gilt den so genannten Aussagen. Für die Konstruktion neuer Aussagen aus bereits vorhandenen Aussagen bedient sie sich der Aussagenvariablen, der Aussageformen, der Junktoren und der Quantoren.
  • Eine Aussage ist jedes schriftsprachliche Gebilde, das entweder wahr oder falsch, aber nicht beides sein kann (tertium non datur). Dabei spielt es keine Rolle, auf welcher Weise der Wahrheitswert festgestellt wird. Bei vielen Aussagen (auch aus der Mathematik) steht der Wahrheitswert gar nicht fest. Es darf dennoch stets angenommen werden, dass jede Aussage entweder wahr oder falsch ist. Der Wahrheitswert einer Aussage A wird mit w(A) gekennzeichnet.
  • Eine Individuenvariable ist eine Variable, die für ein Element einer Grundgesamtheit steht. Sind die Elemente Gegenstände, so spricht man auch von einer Gegenstandsvariablen.
  • Eine Aussagenvariable ist eine Variable, die für eine ganze Aussage steht. [Alle Variablenarten in der Logik dienen, wie in der Mathematik üblich, als Platzhalter.]
  • Eine Aussageform (oder logische Formel) ist ein schriftsprachliches Gebilde, das aus Aussagen und "freien" Variablen besteht. Erst nach einer Belegung der Variablen wird die Aussageform zu einer Aussage.
  • Ein Junktor (oder Konnektor) verknüpft zwei Aussagen oder Aussageformen zu einer neuen Aussage oder Aussageform, oder er steht für die Verneinung einer einzelnen Aussage oder Aussageform. Die bekanntesten Junktoren sind: nicht (¬), und (∧), oder (∨), wenn, dann (⇒), genau dann, wenn (⇔).
  • Ein Quantor ist eines der zwei Symbole ∀ und ∃. Sein Zweck ist es freie Variablen zu binden.
    ∀x∈G : A(x)  lies: für alle x gilt A(x)
    ∃x∈G : A(x)  lies: für mindestens ein x gilt A(x)

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