Logik
- Eine Aussage ist jedes schriftsprachliche Gebilde, das entweder wahr oder falsch, aber nicht beides sein kann (tertium non datur). Dabei spielt es keine Rolle, auf welcher Weise der Wahrheitswert festgestellt wird. Bei vielen Aussagen (auch aus der Mathematik) steht der Wahrheitswert gar nicht fest. Es darf dennoch stets angenommen werden, dass jede Aussage entweder wahr oder falsch ist. Der Wahrheitswert einer Aussage A wird mit w(A) gekennzeichnet.
- Eine Individuenvariable ist eine Variable, die für ein Element einer Grundgesamtheit steht. Sind die Elemente Gegenstände, so spricht man auch von einer Gegenstandsvariablen.
- Eine Aussagenvariable ist eine Variable, die für eine ganze Aussage steht. [Alle Variablenarten in der Logik dienen, wie in der Mathematik üblich, als Platzhalter.]
- Eine Aussageform (oder logische Formel) ist ein schriftsprachliches Gebilde, das aus Aussagen und "freien" Variablen besteht. Erst nach einer Belegung der Variablen wird die Aussageform zu einer Aussage.
- Ein Junktor (oder Konnektor) verknüpft zwei Aussagen oder Aussageformen zu einer neuen Aussage oder Aussageform, oder er steht für die Verneinung einer einzelnen Aussage oder Aussageform. Die bekanntesten Junktoren sind: nicht (¬), und (∧), oder (∨), wenn, dann (⇒), genau dann, wenn (⇔).
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Ein Quantor ist eines der zwei Symbole ∀ und ∃. Sein Zweck ist es freie Variablen zu binden.
∀x∈G : A(x) lies: für alle x gilt A(x)
∃x∈G : A(x) lies: für mindestens ein x gilt A(x)
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- Geschrieben von Kory
- Hauptkategorie: Grundlagen der Mathematik
- Kategorie: Logik
Der Kettenschluss ist eine Serie von Implikationen, durch die gezeigt werden soll, dass auch schon aus der ersten Prämisse die letzte Konklusion folgt.
Formal: (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C) → A ⇒ C (Kettenschlussregel) oder allgemeiner:
(A1⇒A2) ∧ (A2⇒A3) ∧ ... ∧ (An-1⇒An) → A1 ⇒ An
Entspricht die letzte Konklusion der ersten Prämisse (also A1=An), so sind alle Aussagen äquivalent, d.h. A1⇔A2⇔ ... ⇔An-1⇔An
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- Geschrieben von Kory
- Hauptkategorie: Grundlagen der Mathematik
- Kategorie: Logik
Beim direkten Beweis wird die zu beweisende Aussage direkt bewiesen, d.h. nur mit den speziell gemachten Voraussetzungen, den Axiomen der Theorie und den bereits bewiesenen Sätzen durch logische Schlussfolgerungen hergeleitet.
Formal: B ∧ (B ⇒ A) → A (Abtrennungsregel)
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- Geschrieben von Kory
- Hauptkategorie: Grundlagen der Mathematik
- Kategorie: Logik
Die Kontraposition ist der Umkehrschluss der Implikation.
Formal: (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A)
Hierbei sind die Klammern nur der Deutlichkeit wegen gesetzt. Sie werden nicht benötigt, da per Konvention die Implikation (⇒) stärker bindet als die Äquivalenz (⇔). Dies ist analog zu dem Sachverhalt in der Arithmetik zu verstehen: Punktrechnung geht vor Strichrechnung.