Beim direkten Beweis wird die zu beweisende Aussage direkt bewiesen, d.h. nur mit den speziell gemachten Voraussetzungen, den Axiomen der Theorie und den bereits bewiesenen Sätzen durch logische Schlussfolgerungen hergeleitet.

Formal: B ∧ (B ⇒ A) → A (Abtrennungsregel)

Beispiel 1:

Voraussetzung:
Aufbau der natürlichen Zahlen

Behauptung:
Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist durch 3 teilbar.

Beweis:
Drei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen lassen sich mittels der ersten Zahl n, wie folgt darstellen: n, n+1, n+2 .
Daraus folgt: n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3

Beispiel 2:

Voraussetzung:
f,g : [a,b] → ℝ, h(x) := f(x)[g(b)-g(a)] - g(x)[f(b)-f(a)], also eine Differenz der geeignet skalierten Funktionen f und g.

Behauptung:
h(a) = h(b)

Beweis:
h(a) = f(a)[g(b)-g(a)] - g(a)[f(b)-f(a)] = f(a)g(b) - g(a)f(b)
h(b) = f(b)[g(b)-g(a)] - g(b)[f(b)-f(a)] = -f(b)g(a) + g(b)f(a)

HINWEIS:
Die hier bewiesene Behauptung wird für den Beweis des verallgemeinerten Mittelwertsatzes der Differentialrechnung benötigt.
Dieser wiederum ist Grundlage für die Regel von l'Hospital, die Grenzwertbetrachtungen bei Quotienten vereinfacht.
Grenzwertbetrachtungen werden in sehr vielen Zusammenhängen benötigt, u.a. für den Nachweis der Stetigkeit.
Stetige Funktionen haben viele besondere Eigenschaften, die ihre Handhabung erleichtern.
...

Beispiel 3 (Produktregel der Differentiation):

Voraussetzung:
f,g : ℝ → ℝ, beide differenzierbar im Punkte a∈ℝ

Behauptung:
\((f\cdot g)'(a) = f'(a)\cdot g(a) + f(a)\cdot g'(a)\)

Beweis:\[\begin{array}{rll}(f\cdot g)'(a) = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)g(a+h)-f(a)g(a)}{h} & \quad , \,f(a+h)\cdot g(a) \mbox{ abziehen und hinzufügen}\\ = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}[f(a+h)(g(a+h)-g(a))+(f(a+h)-f(a))g(a)] & \\= & \lim\limits_{h\rightarrow 0} f(a+h)\cdot\frac{g(a+h)-g(a)}{h}+\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\cdot g(a) & \quad ,\, f \mbox{ ist im Punkte a auch stetig} \\ = & f(a)\cdot g'(a) + f'(a)\cdot g(a)& \end{array}\]♣

Beispiel 4 (Quotientenregel der Differentiation):

Voraussetzung:
f,g : ℝ → ℝ, beide differenzierbar im Punkte a∈ℝ und g(a) ≠ 0

Behauptung:
\(\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a)·g(a) - f(a)·g'(a)}{g(a)^2}\)

Beweis:
Es braucht nur der Beweis für f=1 geführt zu werden, da im allgemeinen Fall, wegen \(\frac{f}{g}=f\cdot \frac{1}{g}\), nur noch die Produktregel nachgeschaltet werden muss.\[\begin{array}{rll}\left(\frac{1}{g}\right)'(a) = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left(\frac{1}{g(a+h)} - \frac{1}{g(a)} \right) & \quad ,\, g(a+h) \cdot g(a) \mbox{ ist der gemeinsame Nenner}\\ = & \lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{1}{g(a+h) \cdot g(a)}\left( \frac{g(a)-g(a+h)}{h}\right) & \quad ,\, g \mbox{ ist im Punkte a stetig}\\ = & \frac{-g'(a)}{g(a)^2} & \end{array}\]♣