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Geschrieben von Kory

Hauptkategorie: Grundlagen der Mathematik

Kategorie: Mengenlehre

Für viele Bereiche der Mathematik, insbesondere für die W-Theorie, sind Mengenbildungen von abzählbar vielen Mengen häufig anzutreffen. Für Operationen auf abzählbar vielen Mengen hat sich die Sprechweise mit dem Präfix σ eingebürgert. Daher auch der Titel dieses Beitrags: "σ-Operationen auf Mengen". Hier eine kurze Zusammenfassung dieser Mengenbildungen.

\[ \begin{array}{lrcl} \mbox{Vereinigung} & \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n & := & \{\,x\,| \,\exists\, i: x \in A_i \}\\ \mbox{Disjunkte Vereinigung} & \sum_{n=1}^{\infty}A_n & := & \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \quad ∧ \quad \mbox{die Mengen } A_n \mbox{ sind paarweise disjunkt}\\ \mbox{}& \biguplus_{n=1}^{\infty}A_n & := & \sum_{n=1}^{\infty}A_n\\ \mbox{Durchschnitt} &\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n & := & \{\,x\,| \,\forall\, i: x \in A_i \}\\ \varliminf_{n \to\infty}A_n :=\liminf_{n\to \infty} A_n :=& \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_k & := & \{\,x\,| \,∃\,m\,∀\,k\ge m:x\in A_k\}\\ &&& \mbox{d.h. }x\mbox{ ist ab einem gewissen m in allen Mengen }A_n\mbox{ enthalten}\\ &&& \mbox{w-theoretisches Ereignis: "ab einem gewissen n treten alle Ereignisse }A_n\mbox{ ein"}\\ \varlimsup_{n\to\infty}A_n :=\limsup_{n\to \infty} A_n :=& \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k & := & \{\,x\,| \,∀\,n\,∃\,k\ge n:x\in A_k\}\\ &&& \mbox{d.h. }x\mbox{ ist in unendlich vielen der Mengen }A_n\mbox{ enthalten}\\ &&& \mbox{w-theoretisches Ereignis: "unendlich viele der Ereignisse }A_n\mbox{ treten ein"}\end{array} \]

Zum besseren Verständnis der beiden letzten Begriffe sollte man die ausführlichere Schreibweise mit Klammern verwenden: \(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcap\limits_{k=n}^{\infty}A_k = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\left(\bigcap\limits_{k=n}^{\infty}A_k\right) \) und \(\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}A_k = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\left(\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}A_k\right) \)