Lineare Algebra (Vektoralgebra)
Die lineare Algebra ist das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen diesen beschäftigt. So eine Definition ist für den Anfänger natürlich völlig unbrauchbar, da das Verständnis der dort verwendeten Begriffe (Vektorraum, lineare Abbildung) nicht vorausgesetzt werden kann. Zum Glück können wir die Definition hier sehr leicht konkretisieren, ohne von der ursprünglichen Weite des Begriffes "lineare Algebra" zu weit abzurücken. Die lineare Algebra entstand nämlich aus zwei sehr konkreten Anforderungen heraus:
- einerseits dem Lösen von linearen Gleichungssystemen,
- andererseits der rechnerischen Beschreibung geometrischer Objekte (→ analytische Geometrie).
Wenn man sich nun daran erinnert, dass das Skalarprodukt von Vektoren aus der analytischen Geometrie bei der Matrizenmultiplikation seine Anwendung findet, dann wird die folgende Definition um so klarer.
Die lineare Algebra ist das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit linearen Gleichungssystemen und Matrizen beschäftigt.
Die linearen Algebra ist ein relativ einfach zu durchdringendes Gebiet, das in den letzten Jahren eine große Bedeutung in Wirtschaft, Wissenschaft und Technik erlangt hat. Für das renommierte Computersystem MATLAB ist die Rechenbasis nicht eine Zahl, sondern eine Matrix, also das rechteckige Gebilde, das das Lösen von linearen Gleichungssystemen besonders einfach macht. Um das besser zu verstehen, muss man sich nur vergegenwärtigen, dass die Grundrechenarten im Wesentlichen auch für Matrizen existieren. Nicht alles was man mit Zahlen machen kann, kann man auch mit Matrizen machen, aber immerhin sehr viel davon.
Noch abstrakter wird es, wenn man den Oberbegriff Algebra zu definieren versucht. Algebra beschreibt das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Objekten (nicht nur Zahlen und Matrizen, sondern auch beliebigen Funktionsklassen) und den Verknüpfungen (z. B. den Grundrechenarten und der Verkettung) zwischen ihnen beschäftigt. Die Schulmathematik formuliert den Begriff, weniger abstrakt und so wie er historisch gewachsen ist, als das "Rechnen mit Unbekannten". Al-Chwarizmi, ein arabischer Gelehrte des 9. Jh., der in der damaligen Hochburg der Wissenschaften Bagdad wirkte, war mit seinem Buch "über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen" (al‑ğabr w al-muqābalah) Namensgeber dieser mathematischen Disziplin. Im Kern geht es in diesem Buch um das Lösen von einfachen "quadratischen Gleichungen", dem folgende zwei Schritte zugrunde liegen:
- al-ğabr („Ergänzen“) – Beseitigung der negativen Ausdrücke
- al-muqābalah („Ausgleichen“) – Zusammenfassung der Ausdrücke gleicher Potenz
Daraus folgt zumindest andeutungsweise, dass die Algebra sich auch mit nicht-linearen Gleichungssystemen beschäftigt.
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Lineare Gleichungssysteme
Mit Gleichungssystemen werden Zusammenhänge modelliert um interessierende Größen bestimmen zu können. Die linearen Gleichungssysteme (LGS) zeichnen sich dadurch aus, dass die Funktionen, die sich hinter ihnen verbergen (Funktionen in mehreren Variablen), linear sind, d.h. die abhängigen Größen hängen linear von den unabhängigen Größen ab, formal heißt das:
- f(x1+x2) = f(x1) + f(x2)
- f(λ·x) = λ·f(x)
Für die in den Gleichungen erlaubten Ausdrücke bedeutet das, dass alle Unbekannten nur in der ersten Potenz und auch nicht multiplikativ mit den anderen Unbekannten auftreten dürfen.
Die linearen Gleichungssysteme lassen sich in der Matrizenschreibweise sehr einfach formulieren: Sei A die Koeffizientenmatrix des LGS, x der Lösungsvektor und b der Konstantenvektor, so stellt A·x = b ein LGS dar. Die Lösungsmenge L ist die Menge aller Vektoren x, für die alle Gleichungen im System eine wahre Aussage bilden, also L= { x | A·x = b }. Ein LGS hat
- genau eine Lösung
- (unendlich) viele Lösungen oder
- gar keine Lösung
Von den unzähligen Beispielen aus dem Alltag, hier ein ganz und gar einfaches mit einem Thema vom Wochenmarkt:
Ingrid und ihr Mann Herbert waren zeitversetzt auf dem Wochenmarkt und kauften beim selben Gemüsehändler ein, leider jedoch beide die gleichen Lebensmittel. Herbert kaufte 3 kg Tomaten und 10 kg Kartoffeln, Ingrid kaufte 2 kg Tomaten und 5 kg Kartoffeln. Herbert bezahlte 22 € und Ingrid nur 12 €. Keiner von beiden wusste aber im Nachhinein, was die einzelnen Lebensmittel gekostet haben. Wir wissen es, weil wir diesen Sachverhalt in ein LGS verpacken und dieses anschließend lösen können!
3x + 10y = 22
2x + 5y = 12
Matrizenrechnung
Matrizen sind ein Schlüsselkonzept der linearen Algebra. Sie stellen Zusammenhänge, in denen Linearkombinationen eine Rolle spielen, in einer sehr knappen, aber dennoch übersichtlichen Form dar. Sie werden insbesondere dazu benutzt
- lineare Abbildungen darzustellen und
- lineare Gleichungssysteme zu beschreiben und zu lösen.
Sie tauchen somit in fast allen Gebieten der Mathematik auf. Ein professionelles Werkzeug auf diesem Gebiet ist das numerische Mathematiksystem Matlab.