Mit Gleichungssystemen werden Zusammenhänge modelliert um interessierende Größen bestimmen zu können. Die linearen Gleichungssysteme (LGS) zeichnen sich dadurch aus, dass die Funktionen, die sich hinter ihnen verbergen (Funktionen in mehreren Variablen), linear sind, d.h. die abhängigen Größen hängen linear von den unabhängigen Größen ab, formal heißt das:

• f(x₁+x₂) = f(x₁) + f(x₂)
• f(λ·x) = λ·f(x)

Für die in den Gleichungen erlaubten Ausdrücke bedeutet das, dass alle Unbekannten nur in der ersten Potenz und auch nicht multiplikativ mit den anderen Unbekannten auftreten dürfen.
Die linearen Gleichungssysteme lassen sich in der Matrizenschreibweise sehr einfach formulieren: Sei A die Koeffizientenmatrix des LGS, x der Lösungsvektor und b der Konstantenvektor, so stellt A·x = b ein LGS dar. Die Lösungsmenge L ist die Menge aller Vektoren x, für die alle Gleichungen im System eine wahre Aussage bilden, also L= { x | A·x = b }. Ein LGS hat

• genau eine Lösung
• (unendlich) viele Lösungen oder
• gar keine Lösung

Von den unzähligen Beispielen aus dem Alltag, hier ein ganz und gar einfaches mit einem Thema vom Wochenmarkt: 
Ingrid und ihr Mann Herbert waren zeitversetzt auf dem Wochenmarkt und kauften beim selben Gemüsehändler ein, leider jedoch beide die gleichen Lebensmittel. Herbert kaufte 3 kg Tomaten und 10 kg Kartoffeln, Ingrid kaufte 2 kg Tomaten und 5 kg Kartoffeln. Herbert bezahlte 22 € und Ingrid nur 12 €. Keiner von beiden wusste aber im Nachhinein, was die einzelnen Lebensmittel gekostet haben. Wir wissen es, weil wir diesen Sachverhalt in ein LGS verpacken und dieses anschließend lösen können!

3x  + 10y = 22
2x +  5y = 12