Matrizenrechnung

Matrizen sind ein Schlüsselkonzept der linearen Algebra. Sie stellen Zusammenhänge, in denen Linearkombinationen eine Rolle spielen, in einer sehr knappen, aber dennoch übersichtlichen Form dar. Sie werden insbesondere dazu benutzt

  • lineare Abbildungen darzustellen und
  • lineare Gleichungssysteme zu beschreiben und zu lösen.

Sie tauchen somit in fast allen Gebieten der Mathematik auf. Ein professionelles Werkzeug auf diesem Gebiet ist das numerische Mathematiksystem Matlab.

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Hauptkategorie: Lineare Algebra (Vektoralgebra)
Kategorie: Matrizenrechnung

Gewöhnlich wird unter einer Matrix ein rechteckig angeordnetes Schema von irgendwelchen Objekten verstanden. In der linearen Algebra ist es ein Rechteck-Schema von Zahlen aus einem Körper K (meist ℝ oder ℂ). Es dient als Kurzschreibweise für eine lineare Abbildung zwischen K-Vektorräumen. In dieser Funktion ist die Matrix ein wichtiges Mittel bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen (LGS). Sie ist deshalb ein so wichtiges Instrument, weil es sich mit dieser knappen Schreibweise auch sehr gut rechnen lässt. Im populären numerischen Computersystem MATLAB stellt sie und nicht die Zahl die grundlegende Rechengröße dar. Zahlen sind hier nur spezielle Matrizen.

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Hauptkategorie: Lineare Algebra (Vektoralgebra)
Kategorie: Matrizenrechnung

Eine Determinante ist eine spezielle Funktion, die einer quadratischen Matrix einen Skalar zuordnet. Ein Skalar ist ein Element aus dem Skalarenkörper, also aus dem Körper aus dem auch die Elemente der Matrix kommen. Gottfried Wilhelm Leibniz war der Erste, der den nach seiner Formel berechneten Skalar, als Indikator für die eindeutige Lösbarkeit eines Gleichungssystem erkannte. Diese Leibniz-Formel lautet wie folgt:

Leibniz-Formel     

Hier wird die Summe über alle Permutationen σ der symmetrischen Gruppe Sn gebildet, folglich sind es n! Summanden und jeder davon ein Produkt aus n Faktoren. Ein Verfahren, diese Summanden für höhere Dimensionen systematisch zu berechnen, liefert der Laplacesche Entwicklungssatz.

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Kategorie: Matrizenrechnung

Eine quadratische Matrix A heißt regulär oder invertierbar, falls sie eine Inverse besitzt  ⇔  ∃ B: B*A = A*B = E  ⇔  ∃ B: A*B = E  ⇔  ∃ B: B*A = E. Die Inverse von A wird mit A-1 gekennzeichnet. 

Eine Matrix, die keine Inverse besitzt, wird singuläre Matrix genannt. Die Menge aller invertierbaren (n,n)-Matrizen über einem Skalarenkörper K bildet eine Gruppe bezüglich der Matrizenmultiplikation, die allgemeine lineare Gruppe GLn(K).