Eine Determinante ist eine spezielle Funktion, die einer quadratischen Matrix einen Skalar zuordnet. Ein Skalar ist ein Element aus dem Skalarenkörper, also aus dem Körper aus dem auch die Elemente der Matrix kommen. Gottfried Wilhelm Leibniz war der Erste, der den nach seiner Formel berechneten Skalar, als Indikator für die eindeutige Lösbarkeit eines Gleichungssystem erkannte. Diese Leibniz-Formel lautet wie folgt:

Leibniz-Formel     

Hier wird die Summe über alle Permutationen σ der symmetrischen Gruppe Sn gebildet, folglich sind es n! Summanden und jeder davon ein Produkt aus n Faktoren. Ein Verfahren, diese Summanden für höhere Dimensionen systematisch zu berechnen, liefert der Laplacesche Entwicklungssatz.

Für 2×2-Matrizen ist die Summe nur über 2 Permutationen zu bilden:  det(A) = +a11·a22 -a12·a21

Für 3×3-Matrizen haben wir 6 Summanden bestehend aus je 3 Faktoren. Hier liefert die einprägsame sarrusche Regel, die ihrem Schema entsprechend auch Jägerzaun-Regel genannt wird, das Ergebnis:  det(A) =  a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 - (a31·a22·a13 + a32·a23·a11 + a33·a21·a12)

Charakterisierung der Determinantenfunktion

Eine Funktion f: M(n,n) → K vom Raum der quadratischen Matrizen in den Skalarenkörper (also eine K-wertige Funktion mit n n-dimensionalen Variablen [den Spalten der n×n-Matrix]) ist genau dann die Determinatenfunktion, wenn sie die folgenden Bedingungen erfüllt:  

  1. f ist multilinear, d.h. linear in jeder Spalte
  2. f ist alternierend, d.h. sind zwei Spalten identisch, dann ist f(x) = 0
  3. f ist normiert, d.h. det(En) = 1 (das Eins-Element in K)

Verwendungszweck

  1. Mit Hilfe von Determinanten können wir feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Ein LGS mit n Gleichungen und n Unbekannten ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ≠0 ist.
  2. Mit Hilfe der Cramerschen Regel (auch Determinantenverfahren genannt) kann die Lösung eines LGS mit n Gleichungen und n Unbekannten explizit angegeben werden. Die Lösung lautet:
    xi = det(Ai)⁄det(A) ∀i≤n, wobei die Matrix Ai aus der Koeffizientenmatrix A entsteht, wenn wir die i-te Spalte durch den Konstantenvektor ersetzen.
  3. Determinanten können auch dazu dienen die Inverse einer Matrix mittels der Adjunkten zu berechnen.

Darüber hinaus hat auch das Vorzeichen und der Absolutbetrag der Determinante eine Bedeutung:

  • sgn(det(A)) = Orientierung einer Basis (also von linear unabhängigen Spaltenvektoren) im Kn.
  • abs(det(A)) = Volumen des Parallelepipets, das durch die Spaltenvektoren aufgespannt wird.

Berechnungsverfahren

Die folgenden drei Berechnungsverfahren sind am gebräuchlichsten:

  1. Gaußsches Eliminationsverfahren zur Determinantenberechnung
  2. Berechnung mittels der LR-Zerlegung (Dreieckszerlegung)
  3. Laplacescher Entwicklungsatz

Zu 1.)  Gaußsches Eliminationsverfahren zur Determinantenberechnung

  • Ist A eine Dreiecksmatrix, dann ist das Produkt der Hauptdiagonalelemente die Determinante von A.
  • Falls B sich aus A ergibt, indem man zwei Zeilen oder Spalten vertauscht, dann ist det(B= = -det(A).
  • Falls B sich aus A ergibt, indem man ein Vielfaches einer Zeile oder Spalte zu einer anderen Zeile oder Spalte addiert, dann ist det(B) = det(A).
  • Falls B sich aus A ergibt, indem man ein c-faches einer Zeile oder Spalte bildet, dann ist det(B)=c·det(A).

Beginnend mit einer beliebigen quadratischen Matrix benutzt man die letzten drei dieser vier Regeln, um die Matrix in eine obere Dreiecksmatrix zu überführen, und berechnet dann die Determinante als Produkt der Diagonalelemente.

Zu 2.) Berechnung mittels der LR-Zerlegung

Habe wir eine LR-Zerlegung von A [A=LR], also eine Zerlegung in eine untere (L) und eine obere (R) Dreiecksmatrix, wobei R die nach dem Gaußschen Eliminationsverfahren gewonnene Stufenform hat und die Matrix L dem Speichern der benötigten Umformungsschritte diente, also ein Produkt von Frobeniusmatrizen ist, dann gilt aufgrund des Determinanten-Multiplikationssatzes:
det(A) = det(L) * det(R) = 1 * det(R) = r1,1 * ... * rn,n .

Zu 3.) Laplacescher Entwicklungssatz

Hierbei wird die Determinante nach den Zeilen oder Spalten der gegebenen Matrix "entwickelt". Die Formeln lauten unter Zuhilfenahme der Minoren:

  • für die Entwicklung nach der j-ten Spalte:  Σi=1..n ai,j (-1)i+j Mi,j
  • für die Entwicklung nach der i-ten Zeile:  Σj=1..n ai,j (-1)i+j Mi,j

Der Aufwand für die Berechnung nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz ist nicht unerheblich. Er ist für n×n-Matrizen von der Ordnung O(n!). Es gibt numerisch effizientere Verfahren, dennoch ist er für kleine Matrizen und Matrizen mit vielen Nullen gut verwendbar.

Hinweis: Landau-Symbole, wie das "Groß-O von" O( ) stehen für das asymptotische Verhalten von Funktionen im Vergleich zu einer anderen Funktion, die als Parameter übergeben werden muss, also in unserem Fall im Vergleich zu Funktion f(n) = n! .