Stochastik

Der Name Stochastik kommt aus dem Griechischen. Als στοχαστικóς (sprich: stochastikos) wurde jemand bezeichnet, der im Vermuten ge­schickt ist. Dieses Teilgebiet der Mathematik befasst sich mit Zufalls­erscheinungen. Es umfasst die Wahrscheinlichkeits­rechnung (kurz: W‑Theorie) und die Mathematische Statistik (kurz: Statistik), einschließlich ihrer jeweiligen Anwendungsgebiete. Den Unterschied zwischen diesen beiden Teilgebieten der Stochastik kann man folgendermaßen beschreiben:

Bei der W‑Theorie gehen wir von gegebenen W‑Maßen aus, untersuchen ihre Eigenschaften oder konstruieren aus ihnen neue W‑Maße. Ein Hauptziel ist es Hilfsmittel für die Statistik bereitzustellen.
Bei der Statistik gehen wir dagegen von gegebenen Beobachtungen aus und versuchen daraus Aussagen über die dahinter sich eventuell verbergenden W‑Maße zu machen.

Die Stochastik unterscheidet sich in so mancher Hinsicht von anderen Zweigen der Mathematik. Viele ihrer Definitionen, Konzepte und Resultate sind ohne ihren Bezug auf Probleme des "täglichen Lebens" oder der Naturwissenschaften nur schwer zu verstehen. Andererseits macht sie auch viel Gebrauch von den anderen mathematischen Disziplinen, insbesondere von der Kombinatorik, der mehrdimensionalen Analysis, der Maßtheorie und der Linearen Algebra.

 Die Stochastik ist einerseits stark anwendungsbezogen, anderseits stark mathematiklastig.

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Wahrscheinlichkeitstheorie

Mathematik versucht Probleme zu lösen. Die Probleme, die speziell an die W-Theorie gerichtet werden, befassen sich mit der Unsicherheit, die wir beim Ausgang bestimmter Vorgänge haben. Bevor wir auf die Theorie der Wahrscheinlichkeit zu sprechen kommen, also das konzeptionelle Handwerkzeug mit dem man bestimmte Fragestellungen behandeln kann, hier ein paar von diesen Fragen, für die man sich interessieren könnte.

WICHTIG: Fragen müssen präzise formuliert werden, zumindest müssen die an einer Antwort Interessierten den genauen Inhalt der Frage kennen.

Wie wahrscheinlich ist es, dass

  1. unser Sommerurlaub am Meer von einem schönen Wetter noch verschönert wird?
  2. bei Einnahme des Medikamentes XYZ unser Gesundheitszustand sich verschlechtern wird?
  3. wir beim Werfen zweier Würfel eine Augensumme zwischen 8 und 11 erreichen werden?
  4. in der aktuellen, für den BVB noch nicht entschiedene Bundesliga-Saison der BVB einen Champions-League-Platz erreichen wird?
  5. in "naher" Zukunft liegenden Bundesliga-Saison einer der beiden Mannschaften BVB und BMG absteigt, während gleichzeitig der anderer deutscher Fußballmeister wird?
  6. ein 25-jähriger Studienanfänger seinen Master in einem Fach des Fachbereichs Geowissenschaften der Uni Hamburg (wenn er ihn überhaupt schafft) vor dem 35-sten Geburtstag schaffen wird?
  7. wir mit der Deutschen Bahn für die Strecke von A nach B länger als 55 min brauchen werden?
  8. sowohl der Spieler Nadal als auch der Spieler Federer zu den drei besten Spielern des Turnier gehören werden?

 

Statistik

Das Besondere an Zahlen, abgesehen von zahlentheoretischen Aspekten, ist ihre Vergleichbarkeit. Dieses Merkmal haben endliche Zahlenmengen, also das womit sich die Statistik befasst, nicht. Welche Möglichkeiten stehen uns zur Verfügung auch Zahlenmengen zu vergleichen? Wir vergleichen sie ganz einfach dadurch, dass wir ihnen "charakteristische" Zahlen zuordnen und dann mittels dieser Zahlen einen Vergleich anstellen. Das Ergebnis des Vergleichs von Zahlenmengen ist also von der gewählten charakteristischen Zahl abhängig. Ein uneingeschränktes "Größer" oder "Kleiner" gibt es bei Zahlenmengen nicht. Wenn man dennoch im allgemeinen Sprachgebrauch von "größer" oder "kleiner" bei Zahlenmengen spricht, so basiert der Vergleich auf der charakteristischen Zahl "Mächtigkeit". Im allgemeinen muss man diese Zahl (Kenngröße) jedoch benennen.

Selbst wenn die Zahlen paarweise größer oder kleiner sind, kann man dieses Merkmal nicht auf die zugehörigen Mengen übertragen. Betrachte hierzu z. B. die Mengen {2,4,6} und {10,11,12}. Bezüglich der Kenngröße "Standardabweichung" ist die zweite Menge kleiner als die erste Menge, obwohl bei paarweisem Vergleich dies genau umgekehrt ist.