Fachwerk unter Belastung

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen (grün) infolge der äußeren Belastung (rot).

Lösung:

1.) Zunächst einmal muss festgestellt werden, dass wir hier trotz zweier fester Lager es nicht mit einem "unbestimmten System" zu tun haben. Dies liegt daran, dass am Auflager A nur ein Stab angreift und daher die Richtung der Auflagerkraft bekannt ist, somit also nur eine Unbekannte vorliegt.

2.) Um mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen schnell zum Ziel zu kommen, wählen wir Punkte bzw. Achsen, bezüglich derer die Anzahl der zu berücksichtigenden unbekannten Kräfte möglichst gering ist. Auf diese Weise bekommen wir drei Gleichungen, in denen jeweils weniger als drei Unbekannte enthalten sind, was bekanntlich das Lösen des LGS erheblich vereinfacht.

Aus \(\boxed{\sum M_B = 0}\) folgt: \(+ F_1\cdot 3,6 + F_2\cdot 1,8 + F_A\cdot \sin(45°)\cdot 1,8=0\) und damit

\(\color{green}{F_A} = \frac{-F_1\cdot 3,6 -F_2\cdot 1,8}{\sin(45°)\cdot 1,8}= - 42,43 {\rm \,kN}\)

Aus \(\boxed{\sum F_x=0}\) folgt: \( F_A\cdot \sin(45°)+F_{Bx}=0\) und damit

\(\color{green}{F_{Bx}}= - F_A\cdot \sin(45°) = 42,43 {\rm \,kN} \cdot \sin(45°) = 30 {\rm \,kN} \)

Aus \(\boxed{\sum F_y=0}\) folgt: \(F_{By} - F_A\cdot \cos(45°) - F_1 - F_2=0\) und damit

\(\color{green}{F_{By}} = F_A\cdot \cos(45°) + F_1+ F_2 = - 42,43{\rm \,kN} \cdot \cos(45°) + 10 {\rm \,kN} + 10 {\rm \,kN} = -10 {\rm \,kN} \)

Ein durch die Rechnung sich ergebendes Minuszeichen bedeutet, dass die (wirkliche) Kraftrichtung entgegengesetzt zu der Kraftrichtung ist, die im Kräfteplan festgelegt wurde.